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Théorème de Rellich

Le théorème de Rellich-Kondrachov est un théorème d'analyse, la branche des mathématiques qui est constituée du calcul différentiel et intégral et des domaines associés.

Énoncé

Si est un ouvert borné de classe de régularité , alors de toute suite bornée de on peut extraire une sous-suite convergente dans (on dit que l'injection canonique de dans est compacte).

Remarques

On se place dans .

désigne un espace de Sobolev.

désigne un espace Lp avec p = 2.

Le caractère de a un sens particulier : il s'agit de la régularité du bord.

L'inclusion de dans n'est pas, elle, compacte.

Démonstration

La preuve se base sur le théorème de Fréchet-Kolmogorov qui caractérise les sous-ensembles relativement compacts de .

Applications

Rappelons que est un espace de Hilbert lorsque muni du produit hermitien suivant :

(où dénote le gradient, le produit scalaire usuel entre et dénote le complexe conjugé).

Dès lors, comme toute suite faiblement convergente est bornée[1], le théorème de Rellich implique que toute suite faiblement convergente dans possède une sous-suite qui converge fortement dans (autrement dit, qui converge pour la topologie induite par la norme sur ).

En outre, le théorème de Rellich–Kondrachov peut être utilisé pour prouver l'inégalité de Poincaré.

Notes et références

  1. (en) Sylvie Benzoni, « Topologie faible », sur Sylvie Benzoni's homepage on Institut Camille Jordan (consulté le ).

Bibliographie

  • (en) V. I. Kondrachov (en), « On certain properties of functions in the space Lp », Dokl. Akad. Nauk SSSR, vol. 48, 1945, p. 563-566
  • (de) Franz Rellich, « Ein Satz über mittlere Konvergenz », Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, vol. 1930, , p. 30–35 (JFM 56.0224.02, lire en ligne)
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