Théorème de Rellich

On va construire un contre-exemple en exhibant une suite bornée en norme ${\displaystyle H^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ qui ne converge pas en norme ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$.

Soit ${\displaystyle u\in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ une fonction non nulle ${\displaystyle C^{\infty }}$ à support compact dans la boule unité ouverte ${\displaystyle B(0,1)}$ (cf. Fonction C∞ à support_compact). Il est aisé de vérifier que cet ensemble est bien inclus dans ${\displaystyle H^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$. Pour tout naturel ${\displaystyle k}$, définissons la suite ${\displaystyle u_{k}(\cdot ):=u(\cdot -k\mathbf {1} )}$ (où ${\displaystyle \mathbf {1} }$ désigne le point de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ dont toutes les composantes sont égales à ${\displaystyle 1}$). Cette suite est bien incluse dans ${\displaystyle H^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ car chaque élément de la suite est encore dans ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$.

Il est clair que le support de cette fonction est dans la boule ${\displaystyle B(k\mathbf {1} ,1)}$. Dès lors, comme pour tous naturels distincts ${\displaystyle k,l}$, les boules ${\displaystyle B(k\mathbf {1} ,1)}$ et ${\displaystyle B(l\mathbf {1} ,1)}$ sont disjointes, on a ${\displaystyle {\text{supp }}u_{k}\cap {\text{ supp }}u_{l}=\emptyset }$ (où ${\displaystyle {\text{supp }}f}$ désigne le support de la fonction ${\displaystyle f}$).

D'une part, la norme de ${\displaystyle u_{k}}$ est constante par rapport à ${\displaystyle k}$ :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Vert u_{k}\Vert _{H^{1}(\mathbb {R} ^{n})}^{2}&=\Vert u_{k}\Vert _{L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}^{2}+\Vert \nabla u_{k}\Vert _{L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}^{2}\\&=\int _{\mathbb {R^{n}} }\vert u(x-k\mathbf {1} )\vert ^{2}{\text{d}}x+\int _{\mathbb {R^{n}} }\Vert \nabla u(x-k\mathbf {1} )\Vert _{\mathbb {R} ^{n}}^{2}{\text{d}}x\\&=\int _{B(k\mathbf {1} ,1)}\vert u_{k}(x)\vert ^{2}{\text{d}}x+\int _{B(k\mathbf {1} ,1)}\Vert \nabla u(x-k\mathbf {1} )\Vert _{\mathbb {R} ^{n}}^{2}{\text{d}}x\\&=\int _{B(0,1)}\vert u(x)\vert ^{2}+\int _{B(0,1)}\Vert \nabla u(x)\Vert _{\mathbb {R} ^{n}}^{2}{\text{d}}x\\&=\Vert u\Vert _{L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}^{2}+\Vert \nabla u\Vert _{L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}^{2}\\&=\Vert u\Vert _{H^{1}(\mathbb {R} ^{n})}^{2}\end{aligned}}}$

On en conclut que cette suite est bien bornée puisque la norme de ${\displaystyle u}$ est, par définition, finie. Remarquons de plus que le développement précédente montre aussi et en particulier que ${\displaystyle \Vert u_{k}\Vert _{L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}}$ est constante et égale à ${\displaystyle \Vert u\Vert _{L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}}$.

D'autre part, pour tous ${\displaystyle k,l\in \mathbb {N} }$ distincts, on a :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Vert u_{k}-u_{l}\Vert _{L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}^{2}&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\vert u_{k}(x)-u_{l}(x)\vert ^{2}{\text{d}}x\\&=\int _{B(k\mathbf {1} ,1)}\vert u_{k}(x)-u_{l}(x)\vert ^{2}{\text{d}}x+\int _{B(l\mathbf {1} ,1)}\vert u_{k}(x)-u_{l}(x)\vert ^{2}{\text{d}}x\\&+\underbrace {\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus \left(B(k\mathbf {1} ,1)\cup B(l\mathbf {1} ,1)\right)}\vert u_{k}(x)-u_{l}(x)\vert ^{2}{\text{d}}x} _{=0}\\&=\int _{B(k\mathbf {1} ,1)}\vert u_{k}(x)\vert ^{2}{\text{d}}x+\int _{B(l\mathbf {1} ,1)}\vert u_{l}(x)\vert ^{2}{\text{d}}x\\&=\Vert u_{k}\Vert _{L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}^{2}+\Vert u_{l}\Vert _{L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}^{2}\\&=2\Vert u\Vert _{L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}^{2}>0\end{aligned}}}$

où on a majoritairement utilisé le fait que les supports d'éléments distincts de la suite sont disjoints, par construction. Dès lors, on en déduit directement que pour tous ${\displaystyle k,l\in \mathbb {N} }$, on a :

${\displaystyle \Vert u_{k}-u_{l}\Vert _{L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}\geq {\sqrt {2}}\Vert u\Vert _{L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}>0}$

Dès lors, la suite ne peut pas être de Cauchy. Comme toute suite convergente dans un espace métrique est de Cauchy, on en conclut que la suite ${\displaystyle (u_{k})_{k\in \mathbb {R} ^{n}}}$ n'est pas convergente dans ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$.

Commentaires :

Il est clair que cette suite ne converge pas non plus dans ${\displaystyle H^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$, mais tout l'intérêt du théorème de Rellich est de permettre à des suites faiblement convergentes de converger fortement lorsqu'on impose une topologie, en quelque sorte plus faible (i.e. "comprenant moins d'ouverts", i.e. la topologie est plus grossière).

On remarquera que cette construction utilise le fait que ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ est non borné dans au moins une direction, ce qui permet l'existence d'une telle suite.