Théorème de Fréchet-Kolmogorov

Soient p un nombre réel supérieur ou égal à 1 et B un sous-ensemble de L^p(λ).

Cette partie B est relativement compacte si et seulement si les trois propriétés suivantes ont lieu simultanément :

1. B est bornée,
2. ${\displaystyle \lim _{r\to \infty }\int _{\|x\|>r}\left|f\right|^{p}{\rm {d}}\lambda =0}$ uniformément par rapport à f ∈ B,
3. ${\displaystyle \lim _{a\to 0}\|\tau _{a}f-f\|_{{\rm {L}}^{p}(\lambda )}=0}$ uniformément par rapport à f ∈ B, où τ_a f désigne la translatée de f par a, c'est-à-dire τ_a f(x) = f(x + a).

Puisque L^p est complet, B est relativement compact si et seulement s'il est précompact.

Sachant que les trois propriétés sont vraies si B est un singleton, on en déduit facilement qu'elles le restent si B est un précompact.

Réciproquement, supposons que B satisfait les trois propriétés et montrons qu'il est précompact. D'après l'hypothèse 2, il suffit de démontrer que pour tout compact K de ℝⁿ, l'ensemble B_|K des restrictions à K d'éléments de B est précompact.

Pour tout r > 0, notons :

• B_r la boule de ℝⁿ de centre 0 et de rayon r ;
• V_r = λ(B_r) son volume ;
• μ_r la mesure de probabilité de Lebesgue sur cette boule : μ_r(A) = V_r⁻¹λ(A∩B_r) ;
• ${\displaystyle \forall f\in {\rm {L}}^{p}(\lambda )\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}\quad f_{r}(x)=\int \tau _{x}f{\rm {d}}\mu _{r}.}$

D'après l'inégalité de Jensen ou celle de Hölder, pour une mesure de probabilité, la norme L^p est une fonction croissante de p. En appliquant le théorème de Fubini, on en déduit : ${\displaystyle {\begin{aligned}\|f_{r}-f\|_{{\rm {L}}^{p}(\lambda )}^{p}&\leq \int \left\|\tau _{x}f-f(x)\right\|_{{\rm {L}}^{1}(\mu _{r})}^{p}{\rm {d}}\lambda (x)\\&\leq \int \left\|\tau _{x}f-f(x)\right\|_{{\rm {L}}^{p}(\mu _{r})}^{p}{\rm {d}}\lambda (x)\\&=\int \|\tau _{a}f-f\|_{{\rm {L}}^{p}(\lambda )}^{p}{\rm {d}}\mu _{r}(a)\\&\leq \sup _{\|a\|<r}\|\tau _{a}f-f\|_{{\rm {L}}^{p}(\lambda )}^{p},\end{aligned}}}$

ce qui garantit au passage que f_r ∈ L^p mais montre surtout que (d'après l'hypothèse 3) ${\displaystyle \lim _{r\to 0^{+}}\|(f_{r})_{|K}-f_{|K}\|_{{\rm {L}}^{p}(\lambda )}=0}$ uniformément par rapport à f ∈ B, si bien que pour démontrer la précompacité (pour la norme L^p) de B_|K, il suffit de vérifier, pour tout r > 0, celle de l'ensemble ${\displaystyle \{(f_{r})_{|K}\mid f\in B\}.}$ Il est même précompact pour la norme de la convergence uniforme sur K car le théorème d'Ascoli s'applique. On montre en effet qu'en tout point x, cet ensemble est :

• équicontinu d'après l'hypothèse 3 car (en réutilisant la croissance des normes)${\displaystyle {\begin{aligned}|f_{r}(y)-f_{r}(x)|&\leq \|\tau _{y}f-\tau _{x}f\|_{{\rm {L}}^{1}(\mu _{r})}\\&\leq \|\tau _{y}f-\tau _{x}f\|_{{\rm {L}}^{p}(\mu _{r})}\\&\leq (V_{r})^{-1/p}\|\tau _{y}f-\tau _{x}f\|_{{\rm {L}}^{p}(\lambda )}\\&=(V_{r})^{-1/p}\|\tau _{y-x}f-f\|_{{\rm {L}}^{p}(\lambda )}~;\end{aligned}}}$
• borné d'après l'hypothèse 1 car (par un calcul analogue) ${\displaystyle |f_{r}(x)|\leq (V_{r})^{-1/p}\|f\|_{{\rm {L}}^{p}(\lambda )}.}$

• Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions], p. 72
• Marcel Riesz, « Sur les ensembles compacts de fonctions sommables », Acta Sci. Math., vol. 6,‎ 1933, p. 136-142 (lire en ligne)
• (en) Harald Hanche-Olsen et Helge Holden, « The Kolmogorov-Riesz compactness theorem », Expositiones Mathematicae, vol. 28,‎ 2010, p. 385-394 (arXiv 0906.4883)
• (en) Radu Precup, Methods in Nonlinear Integral Equations, Springer, 2002 (ISBN 978-1-40200844-3, lire en ligne), p. 21-22 — en supposant que B est à support borné
• (en) Kōsaku Yosida, Functional Analysis, Springer, 2013 (lire en ligne), p. 275-277 — en dimension n = 1