Théorème de Fueter-Pólya

En 1873, Cantor démontra[1] que le produit de deux ensembles dénombrables est dénombrable, en exhibant la fonction polynomiale

${\displaystyle P(x,y):=x+{\frac {(x+y+1)(x+y)}{2}}}$,

qui réalise une bijection de ${\displaystyle \mathbb {N} ^{2}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {N} }$, appelée fonction de couplage de Cantor. En intervertissant les deux variables, on obtient donc aussi une bijection (${\displaystyle Q(x,y)=P(y,x):=y+{\frac {(x+y+1)(x+y)}{2}}}$).

En 1923, Fueter chercha à déterminer s'il existe d'autres polynômes quadratiques vérifiant cette propriété, et prouva qu'il n'en existe pas d'autre si l'on impose ${\displaystyle P(0,0)=0}$. Il envoya sa démonstration à Pólya, qui montra que le théorème ne nécessite pas cette dernière contrainte, et conjectura que même la restriction sur le degré est inutile. Ils publièrent cet échange épistolaire[2]. Leur preuve est étonnamment analytique et difficile, utilisant le théorème de Lindemann-Weierstrass[3].

En 2001, Maxim Vsemirnov a publié[4] une démonstration élémentaire du théorème de Fueter-Pólya, utilisant seulement la loi de réciprocité quadratique de Gauss et le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet[5].

Si un polynôme réel quadratique à deux variables se restreint en une bijection de ${\displaystyle \mathbb {N} ^{2}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {N} }$, alors il s'agit nécessairement de

${\displaystyle P(x,y):=x+{\frac {(x+y+1)(x+y)}{2}}}$

ou de ${\displaystyle P(y,x)}$.

Le polynôme de Cantor peut être généralisé en un polynôme de degré n, bijectif de ℕⁿ dans ℕ pour n ≥ 2, somme de coefficients binomiaux[6] :

${\displaystyle P_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{1}+{\binom {x_{1}+x_{2}+1}{2}}+\cdots +{\binom {x_{1}+\cdots +x_{n}+n-1}{n}}}$.

On conjecture[7] que pour tout n ≥ 2, les n! fonctions polynomiales déduites de P_n par permutation des variables sont les seules bijections polynomiales de degré n de ℕⁿ dans ℕ, et qu'il n'y a qu'un nombre fini de bijections polynomiales de degré quelconque de ℕⁿ dans ℕ, peut-être même seulement celles déduites des P_k pour k ≤ n.