Théorème de Buchdahl

En 1916, Karl Schwarzschild (1873-1919) publie successivement[1] - [2] deux métriques, solutions exactes de l'équation tensorielle fondamentale de la relativité générale d'Albert Einstein[3]. Ensemble, elles permettent de modéliser le champ gravitationnel à l'extérieur, à la surface et à l'intérieur d'une étoile telle que le Soleil. L'étoile est modélisée comme une boule de fluide parfait à densité constante, c'est-à-dire incompressible. La métrique externe s'applique à l'extérieur de l'étoile[3] ; la métrique interne, à l'intérieur de celle-ci[3]. Les deux métrique sont raccordables à la surface de l'étoile. Schwarzschild met en évidence que le rayon de l'étoile doit être supérieur à ⁹⁄₈ fois son rayon de Schwarzschild[4].

L'éponyme du théorème de Buchdahlchap. 12,_§ 12.4_5-0">[5] - col. 2''s.v.''_Buchdahl_(théorème_de)_6-0">[6] est Hans A. Buchdahl (en) (1919-2010) qui a mis l'inégalité en évidence en 1959col. 2''s.v.''_Buchdahl_(théorème_de)_6-1">[6] - [7].

Le théorème de Buchdahl est aussi désigné comme l'inégalité de Buchdahl (en anglais : Buchdahl inequality[8]) et comme la limite de Buchdahl (Buchdahl limit[9]).

L'inégalité s'écrit :

${\displaystyle {\frac {2GM}{c^{2}R}}<{\frac {8}{9}}}$

ou

${\displaystyle {\frac {GM}{c^{2}R}}<{\frac {4}{9}}}$,

avec :

• ${\displaystyle M}$, la masse de l'objet ;
• ${\displaystyle R}$, le rayon de l'objet ;
• ${\displaystyle G}$, la constante gravitationnelle ;
• ${\displaystyle c}$, la vitesse de la lumière dans le vide.

En unités géométriques, c'est-à-dire avec :

${\displaystyle c=G=1}$,

l'inégalité s'écrit :

${\displaystyle {\frac {2M}{R}}<{\frac {8}{9}}}$,

ou

${\displaystyle {\frac {M}{R}}<{\frac {4}{9}}}$.

Un objet qui ne vérifie pas la relation s'effondre gravitationnellement.

Le théorème est basé sur les hypothèses suivantes : l'étoile est statique§&nbsp;16.3.8_10-0">[10] et à symétrique sphérique§&nbsp;16.3.8_10-1">[10] ; son intérieur est décrit par un fluide parfait§&nbsp;16.3.8_10-2">[10] de densité d'énergie ${\displaystyle \epsilon }$ positive§&nbsp;16.3.8_10-3">[10] et de pression ${\displaystyle p}$ positive§&nbsp;16.3.8_10-4">[10], et dont la densité d'énergie est une fonction monotone décroissante de la coordonnée radiale ${\displaystyle r}$§&nbsp;16.3.8_10-5">[10] :

${\displaystyle \epsilon \geq 0,\qquad p\geq 0,\qquad {\frac {\mathrm {d} \epsilon }{\mathrm {d} r}}\leq 0}$§&nbsp;16.3.8_11-0">[11].