Théorème de Blichfeldt

Considérons d'abord une « région » ${\displaystyle M}$ de ℝⁿ (à prendre ici au sens : partie Lebesgue-mesurable), de « volume » (au sens de la mesure de Lebesgue) ${\displaystyle \lambda _{n}(M)>k}$.

Les deux premières des trois démonstrations ci-dessous s'appuient sur le lemme suivant (qui, pour ${\displaystyle k=1}$, est immédiat) :

Principe des tiroirs pour les mesures[6]. — Soient ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ un espace mesuré et ${\displaystyle (N_{\alpha })}$ une famille au plus dénombrable de parties mesurables de ${\displaystyle X}$.

Si ${\displaystyle \sum _{\alpha }\mu (N_{\alpha })>k\,\mu (\cup _{\alpha }N_{\alpha })}$ alors il existe un point de ${\displaystyle X}$ appartenant à au moins ${\displaystyle k+1}$ de ces parties.

La preuve en est simple : en notant ${\displaystyle \mathbb {1} _{N}}$ l'indicatrice de toute partie ${\displaystyle N}$ de ${\displaystyle X}$, on a ${\displaystyle \int _{\cup _{\beta }N_{\beta }}\sum _{\alpha }\mathbb {1} _{N_{\alpha }}\ \mathrm {d} \mu >\int _{\cup _{\beta }N_{\beta }}k\ \mathrm {d} \mu }$ donc la fonction ${\displaystyle \sum _{\alpha }\mathbb {1} _{N_{\alpha }}}$ est strictement supérieure à ${\displaystyle k}$ en au moins un point.

• Les translatés du domaine fondamental ${\displaystyle D:=\left[0,1\right[^{n}}$ par les vecteurs à coordonnées entières forment une partition de ℝⁿ, donc leurs intersections avec ${\displaystyle M}$ forment une partition de ${\displaystyle M}$. Or la mesure de Lebesgue est invariante par translation. Par conséquent :${\displaystyle \sum _{\alpha \in \mathbb {Z} ^{n}}\lambda _{n}(D\cap (M-\alpha ))=\sum _{\alpha \in \mathbb {Z} ^{n}}\lambda _{n}((D+\alpha )\cap M)=\lambda _{n}(M)>k=k\,\lambda _{n}(D)\geq k\,\lambda _{n}(\cup _{\alpha \in \mathbb {Z} ^{n}}(D\cap (M-\alpha ))}$.D'après le principe des tiroirs, il existe donc au moins un point ${\displaystyle z\in D}$ et ${\displaystyle k+1}$ vecteurs distincts ${\displaystyle \alpha _{0},\dots ,\alpha _{k}\in \mathbb {Z} ^{n}}$ tels que ${\displaystyle z\in M-\alpha _{i}}$. Les ${\displaystyle k+1}$ points ${\displaystyle m_{i}:=z+\alpha _{i}\in M}$ sont alors distincts, et leurs différences ${\displaystyle m_{i}-m_{j}=\alpha _{i}-\alpha _{j}}$ sont bien à coordonnées entières, ce qui termine la première démonstration[3].

Le principe de la deuxième démonstration consiste à placer des translatés de M en chaque point entier d'un pavé, et à comparer le volume de leur réunion et la somme de leurs volumes.

• Supposons, sans perte de généralité, que ${\displaystyle M}$ est borné. On considère un entier m > 0, et à chaque vecteur α à coordonnées entières comprises entre 0 et m, on associe le translaté M + α. Pour δ tel que M soit inclus dans [–δ, δ]ⁿ, tous ces translatés sont inclus dans le pavé [–δ, m + δ]ⁿ, comme illustré sur la figure. Pour m assez grand, on a (m + 1)ⁿλ_n(M) > k(m + 2δ)ⁿ, c'est-à-dire :${\displaystyle \sum _{\alpha \in \{0,\dots ,m\}^{n}}\lambda _{n}(M+\alpha )>k\,\lambda _{n}(\left[-\delta ,m+\delta \right]^{n})\geq k\,\lambda _{n}\left(\cup _{\alpha \in \{0,\dots ,m\}^{n}}(M+\alpha )\right)}$.On conclut, comme dans la première démonstration, grâce au principe des tiroirs[7].
• Cette troisième démonstration ne s'applique que si ${\displaystyle M}$ est cubable. Pour tout entier ${\displaystyle r>0}$, notons ${\displaystyle N_{r}}$ le nombre de points de ${\displaystyle {\frac {1}{r}}\mathbb {Z} ^{n}}$ appartenant à ${\displaystyle M}$. Ce nombre est équivalent à ${\displaystyle r^{n}\lambda _{n}(M)}$ quand ${\displaystyle r\to \infty }$, donc est strictement supérieur à ${\displaystyle r^{n}k}$ pour ${\displaystyle r}$ suffisamment grand. Or modulo ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$, les éléments de ${\displaystyle {\frac {1}{r}}\mathbb {Z} ^{n}}$ ne forment que ${\displaystyle r^{n}}$ classes. L'une d'entre elles contient donc au moins ${\displaystyle k+1}$ des ${\displaystyle N_{r}}$ points considérés, c'est-à-dire qu'il existe ${\displaystyle z\in {\frac {1}{r}}\mathbb {Z} ^{n}}$ tel que ${\displaystyle z+\mathbb {Z} ^{n}}$ contienne ${\displaystyle k+1}$ points distincts ${\displaystyle m_{0}=z+\alpha _{0},\dots ,m_{k}=z+\alpha _{k}}$ de ${\displaystyle M}$. Les différences ${\displaystyle m_{i}-m_{j}=\alpha _{i}-\alpha _{j}}$ sont bien à coordonnées entières, ce qui termine cette troisième démonstration[8].

Considérons maintenant un compact ${\displaystyle M}$ de volume ${\displaystyle k}$. D'après ce qui précède, pour tout entier ${\displaystyle t>0}$, il existe un ${\displaystyle (k+1)}$-uplet ${\displaystyle m_{t}=\left(1+{\frac {1}{t}}\right)p_{t}\in \left(1+{\frac {1}{t}}\right)M^{k+1}}$ tel que pour ${\displaystyle i\neq j}$, ${\displaystyle m_{t,i}-m_{t,j}\in \mathbb {Z} ^{n}\setminus \{0\}}$. La suite ${\displaystyle (p_{t})_{t\in \mathbb {N} ^{*}}}$ (à valeurs dans le compact produit ${\displaystyle M^{k+1}}$) possède une valeur d'adhérence ${\displaystyle p\in M^{k+1}}$, qui est alors aussi valeur d'adhérence de ${\displaystyle (m_{t})_{t\in \mathbb {N} ^{*}}}$. Pour ${\displaystyle i\neq j}$, ${\displaystyle p_{i}-p_{j}}$ appartient donc au fermé ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\setminus \{0\}}$[9].