Théorème de Birkhoff (relativité)

En relativité générale, le théorème de Birkhoff affirme que toute solution à symétrie sphérique de l'équation d'Einstein doit être statique et asymptotiquement plate. C'est, en d'autres termes, un théorème d'unicité[1] - [2] - [3] en vertu duquel toute solution à symétrie sphérique de l'équation d'Einstein dans le vide est localement isométrique à la solution de Schwarzschild[4] - [5] - [6].

Histoire

La métrique de Schwarzschild est une solution de l'équation d'Einstein pour le vide[7]. Elle est à symétrie sphérique et dépend d'un paramètre $M$ correspondant à la masse[7]. Elle peut s'exprimer dans un système de coordonnées d'espace-temps avec $r$ tel que l'aire des sphères — qui sont les orbites du groupe des rotations — soit $4π r 2$ [7]. Dans ce système de coordonnées et pour $M > 0$ , la métrique présente une singularité à $r = 2 GM / c 2$ [7]. Dans la région $r > 2GM / c 2$ , la métrique est statique et représente le champ gravitationnel en dehors d'un corps à symétrie sphérique, statique et dont l'aire correspond à $r 0 > 2 GM / c 2$ [7]. Le théorème répond à la question de savoir si la métrique reste applicable sans avoir à supposer que le corps soit statique[7].

L'éponyme du théorème de Birkhoff est le mathématicien américain George D. Birkhoff (1884-1944) qui l'a établi en 1923[8] - 4^e partie,_chap. 3,_§ 4_9-0">[9] - col. 2''s.v.''Birkhoff_(théorème_de)_10-0">[10].

À la suite des travaux d'Ernst Schmutzer[11] et de Hubert Goenner[12], et de leur citation par Hans-Jürgen Schmidt[13] puis Stanley Deser et Joel Franklinn. 5_14-0">[14], il est désormais admis qu'il avait déjà été publié deux ans plus tôt par un physicien norvégien alors méconnu, Jørg Tofte Jebsen (en)[15]. Depuis, il est souvent question du « théorème de Jebsen-Birkhoff » dans les publications scientifiques[16]. D'après Deser et Franklinn. 5_14-1">[14], le théorème a également été obtenu indépendamment par W. Alexandrow dès 1923[17] et par J. Eisland deux ans plus tard[18].

Justification intuitive

L'idée du théorème de Birkhoff est qu'un champ gravitationnel de symétrie sphérique doit être généré par un objet massif à l'origine : s'il y avait une autre concentration de masse-énergie ailleurs, cela perturberait la symétrie sphérique, donc, on peut s'attendre à ce que la solution représente un objet isolé. Le champ devrait disparaître à grande distance de l'objet, ce qui correspond partiellement à une solution asymptotiquement plate. Ainsi, cette part du théorème correspond à ce que l'on attend du fait que la gravitation newtonienne est un cas limite de la relativité générale.

Conséquences

Le théorème montre qu'il est inutile de supposer que l'espace-temps est statique pour obtenir la métrique de Schwarzschild[19] : supposer que l'espace-temps est à symétrie sphérique est nécessaire mais suffisant[19].

La conclusion que le champ extérieur doit être stationnaire est plus surprenante, et a une conséquence importante. Considérons une étoile sphérique de masse fixe soumise à des pulsations sphériques. Alors, le théorème de Birkhoff dit que sa géométrie extérieure doit obéir à la métrique de Schwarzschild : le seul effet de la pulsation est de changer la position de la surface stellaire. Cela signifie qu'une étoile soumise à des pulsations sphériques ne peut pas émettre d'ondes gravitationnelles.

Une autre conséquence intéressante du théorème de Birkhoff est que pour une fine couche sphérique, la solution intérieure doit obéir à la métrique de Minkowski. En d'autres termes, le champ gravitationnel doit s'annuler à l'intérieur d'une couche sphérique. Ceci est en accord avec la gravitation newtonienne.

En vertu du théorème de de Birkhoff, une étoile statique doit avoir un rayon supérieur au rayon de Schwarzschild[20] :

R>{\frac {2GM}{c^{2}}}=R_{\mathrm {S} }

où :

$R$ et $M$ son respectivement le rayon et la masse de l'étoile ;
$c$ et $G$ sont respectivement la vitesse de la lumière dans le vide et la constante de la gravitation ;
$R_{\mathrm {S} }$ est le rayon de Schwarzschild.

Généralisations

Le théorème de Birkhoff peut être généralisé : toute solution à symétrie sphérique des équations de champ d'Einstein-Maxwell doit être stationnaire et asymptotiquement plate, ce qui implique que la géométrie extérieure d'une étoile chargée sphérique doit correspondre à celle d'un trou noir de Reissner-Nordström.

Il n'existe pas de généralisation du théorème de Birkhoff pour le cas d'un espace-temps à symétrie axiale[21], notamment pour l'effondrement gravitationnel d'un corps en rotation[22]. En particulier, la métrique de Kerr n'est pas la métrique extérieure au corps en rotation pendant son effondrement gravitationnel[22].

Notes et références

Bachelot 1993, p. 2.
Bachelot 1996, p. 3.
Vasset 2009, p. 64.
Dul 2016, p. 7.
Reall 2017, p. 11.
Zegers 2005, p. 1.
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Birkhoff 1923.
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Schmutzer 1968.
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- (en) Wei-Tou Ni (dir.), One hundred years of general relativity : from genesis and empirical foundations to gravitational waves, cosmology and quantum gravity [« Cent ans de relativité générale : de la genèse et des fondements empiriques aux ondes gravitationnelles, à la cosmologie et à la gravité quantique »], vol. 1, New Jersey, World Scientific, 2017, 1^re éd. (ISBN 978-981-4678-48-3, EAN 9789814678483, OCLC 1002304256, DOI 10.1142/9389-vol1, SUDOC 203795857, présentation en ligne, lire en ligne), partie I, chap. 3, p. 109-187 (DOI 10.1142/9789814635134_0003, lire en ligne), p. 170.
(en) Stuart L. Shapiro et Saul A. Teukolsky, Black holes, white dwarfs, and neutron stars : the physics of compact objects [« Trous noirs, naines blanches, et étoiles à neutrons : la physique des objets compacts »], New York, Wiley, juillet 1983 (réimpr. novembre 2008), 1^re éd., XVII-645 p., 24 cm (ISBN 0-471-87317-9 et 0-471-87316-0, EAN 9780471873174, OCLC 421948441, BNF 37360987, DOI 10.1002/9783527617661, SUDOC 007387539, présentation en ligne, lire en ligne), p. 359.

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Birkhoff's theorem (relativity) » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Bibliographie

(en) Salvatore Capozziello et Valerio Faraoni, Beyond Einstein Gravity : A Survey of Gravitational Theories for Cosmology, Springer Science & Business Media, 2010, 447 p. (présentation en ligne), chap. 4 (« Spherical symmetry »), p. 139.
[Hobson, Efstathiou et Lasenby 2009] Michael P. Hobson, George Efstathiou et Anthony N. Lasenby (trad. de l'anglais par Loïc Villain, révision scientifique par Richard Taillet), Relativité générale [« General relativity : an introduction for physicists »], Bruxelles et Paris, De Boeck Supérieur, coll. « Physique », décembre 2009, 1^re éd., 1 vol., XX-554, 21,6 × 27,6 cm (ISBN 978-2-8041-0126-8, EAN 9782804101268, OCLC 690272413, BNF b421421742, SUDOC 140535705, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 9 (« Géométrie de Schwarzschild »), § 9.3 (« Théorème de Birkhoff »), p. 199.
(en) Ray d'Inverno, Introducing Einstein's Relativity, Oxford University Press, 1992, 400 p. (ISBN 978-0-19-859686-8). Modèle:Commentaire SRL
[Spagnou 2017] Pierre Spagnou, Les mystères du temps : de Galilée à Einstein, Paris, CNRS Éditions, coll. « Le banquet scientifique », janvier 2017, 1^re éd., 277 p., 15 × 23 cm (ISBN 978-2-271-08911-3, EAN 9782271089113, OCLC 973489513, BNF 45206523, SUDOC 198491859, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 4 (« Le temps de la relativité générale »), section 3 « La métrique de Schwarzschild », § 4 « Le théorème de Birkhoff ».
[Zegers 2005] (en) Robin Zegers, « Birkhoff's theorem in Lovelock gravity », Journal of Mathematical Physics, vol. 46, n^o 7,‎ juillet 2005, art. n^o 072502, 5 p. (DOI 10.1063/1.1960798, Bibcode 2005JMP....46g2502Z, arXiv gr-qc/0505016, résumé, lire en ligne [PDF], consulté le 17 janvier 2018).

Publications du théorème

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[Birkhoff 1923] (en) George D. Birkhoff (avec la collaboration de Rudolph E. Langer), Relativity and modern physics, Cambridge, Harvard University Press, 1923, 1^re éd., XI-283 p., 23 cm (OCLC 1068558, LCCN 23008297, Bibcode 1923rmp..book.....B, SUDOC 121433935).
[Eiesland 1925] (en) John Eiesland, « The group of motions of an Einstein space », Transactions of the American Mathematical Society, vol. 27, n^o 2,‎ avril 1925, art. n^o 6, p. 213-245 (DOI 10.1090/S0002-9947-1925-1501308-7, JSTOR 1989063, résumé, lire en ligne [PDF], consulté le 15 janvier 2018).
[Jebsen 1921] (de) Jørg T. Jebsen, « Über die allgemeinen kugelsymmetrischen Lösungen der Einsteinschen Gravitationsgleichungen im Vakuum », Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik, vol. 15, n^o 18,‎ 1921, p. 1-9 (présentation en ligne).

Découverte du théorème

[Deser et Franklin 2005] (en) Stanley Deser et Joel Franklin, « Schwarzschild and Birkhoff a la Weyl », American Journal of Physics, vol. 73, n^o 3,‎ mars 2005, partie 3 (« Papers »), art. n^o 9, p. 261-264 (DOI 10.1119/1.1830505, Bibcode 2005AmJPh..73..261D, arXiv gr-qc/0408067, résumé).
[Goenner 1970] (en) Hubert Goenner, « Einstein tensor and generalizations of Birkhoff's theorem », Communications in Mathematical Physics, vol. 16, n^o 1,‎ mars 1970, art. n^o 1, p. 34-47 (DOI 10.1007/BF01645493, Bibcode 10.1007/BF01645493, résumé).
[Knutsen 2006] (en) Henning Knutsen, « Jørg Tofte Jebsen, the forgotten Norwegian relativist who first obtained Birkhoff's theorem », dans Jean-Michel Alimi and André Füzfa (éd.), Albert Einstein century international conference (acte de la conférence internationale tenue à Paris du 18 juillet 2005 au 22 juillet 2005), Melville, American Institute of Physics, coll. « AIP Conference Proceedings » (n^o 861), 2006, XXIII-260 p., 28 cm (ISBN 978-0-7354-0359-8, EAN 9780735403598, OCLC 494342472, BNF 40962775, DOI 10.1063/1.2399709, SUDOC 113279140).
[Schmidt 1997] (en) Hans-Jürgen Schmidt, « A new proof of Birkhoff's theorem », Gravitation and Cosmology, vol. 3, n^o 3,‎ septembre 1997, p. 185-190 (Bibcode 1997GrCo....3..185S, arXiv gr-qc/9709071).
[Schmutzer 1968] (de) Ernst Schmutzer, Relativistische Physik : Klassische Theorie, Leipzig, Teubner, 1968, 1^re éd., 974 p., 24 cm (OCLC 4501696, SUDOC 018917658).

Exemples de démonstration du théorème

[Hawking et Ellis 1973] (en) Stephen W. Hawking et George F. R. Ellis, The large scale structure of space-time, Cambridge, Cambridge University Press, coll. « Cambridge monographs on mathematical physics », janvier 1973, 1^re éd., XI-391 p., 23 cm (ISBN 0-521-09906-4, 978-0-521-09906-6 et 0-521-20016-4, EAN 9780521099066, OCLC 299342801, BNF 37358308, DOI 10.1017/CBO9780511524646, SUDOC 004735110, présentation en ligne, lire en ligne), appendice B « Spherically symmetric solutions and Birkhoff's theorem », p. 369-372 (DOI 10.1017/CBO9780511524646.013, résumé).
[Misner, Thorne et Wheeler 1973] (en) Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John A. Wheeler et David I. Kaiser (avant-propos), Gravitation, Princeton, Princeton University Press, octobre 2017 (1^re éd. 1973), L-1279 p., 26 cm (ISBN 0-691-17779-1 et 978-0-691-17779-3, EAN 9780691177793, OCLC 1012380952, présentation en ligne, lire en ligne), § 32.2 (« Birkhoff's theorem »), p. 843-844.

Dictionnaires

[Taillet, Villain et Febvre 2018] Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Bruxelles, De Boeck Supérieur, hors coll., janvier 2018, 4^e éd. (1^re éd. mai 2008), 976 p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, présentation en ligne, lire en ligne), s.v.« Birkhoff (théorème de) » (sens 1), p. 79, col. 2.

Communications et exposés

[Bachelot 1993] Alain Bachelot, « La diffraction en métrique de Schwarzschild : complétude asymptotique et résonances », dans Centre de mathématiques Laurent-Schwartz, Équations aux dérivées partielles : séminaire 1992-1993, Palaiseau, École polytechnique, 1993, 1^re éd., 30 cm (ISBN 2-73-02-0267-6 (édité erroné) et 2-7302-0267-6, OCLC 492579008, BNF 35591062, SUDOC 078889499), exposé n^o VIII du 16 février 1993, 13 p. (lire en ligne [PDF]).
[Bachelot 1996] Alain Bachelot, « Diffusion classique et quantique par un trou noir en formation », dans Centre de mathématiques Laurent-Schwartz, Équations aux dérivées partielles : séminaire 1995-1996, Palaiseau, École polytechnique, 1996, 1^re éd., 30 cm (ISBN 2-7302-0366-8 (édité erroné), OCLC 36684122, BNF 35843538, SUDOC 029139945), exposé n^o XV du 26 mai 1996, 18 p. (lire en ligne [PDF]).
[Clément 2013] Gérard Clément, chap. 1^er « Relativité générale : solutions exactes stationnaires », dans Abdelhafid Bounames et Abdenacer Makhlouf (éd.) (préf. de Michel Dubois-Violette), Gravitation : théorie et expérience (actes de la 3^e École de physique théorique, tenue à l'université de Jijel du 26 septembre au 3 octobre 2009), Paris, Hermann, coll. « Travaux en cours / physique-mathématiques » (n^o 79), novembre 2013, 1^re éd., XI-448 p., 17 × 24 cm (ISBN 2-7056-8049-7 et 978-2-7056-8049-7, EAN 9782705680497, OCLC 870526477, SUDOC 176320997, présentation en ligne), p. 52 p. (Bibcode : 2011arXiv1109.0902C, arXiv:1109.0902, lire en ligne).
[Le Bellac 2012] Michel Le Bellac, chap. 5 « Relativité générale », dans Freddy Bouchet, Basile Audoly et Jacques-Alexandre Sepulchre (éd.), Peyresq lectures on nonlinear phenomena, vol. 3, Singapour, World Scientific, novembre 2012, 1^re éd., IX-375 p., 15,8 × 23 cm (ISBN 978-981-4440-58-5, EAN 9789814440585, OCLC 874994970, SUDOC 177232897, présentation en ligne, lire en ligne), p. 155-239 (DOI 10.1142/9789814440592_0005, résumé).

Cours

[Gourgoulhon 2014] Éric Gourgoulhon, Relativité générale (notes de cours, 2^e année du master recherche Astronomie et Astrophysique de l'Observatoire de Paris, des universités Paris-VI – Pierre-et-Marie-Curie, Paris-VII – Paris Diderot et Paris-XI – Paris-Sud, et de l'École normale supérieure, année universitaire 2013-2014), Paris, Observatoire de Paris, mars 2014, 341 p., 30 cm (lire en ligne), § 3.2.4 « Théorème de Birkhoff ».
[Reall 2017] (en) Harvey S. Reall, Black holes (notes de cours), Cambridge, Université de Cambridge, janvier 2017, VIII-148 p., 30 cm (lire en ligne [PDF]), § 2.1 « Birkhoff's theorem », p. 11-12.

Thèses

[Dul 2016] (en) Filip Dul, « The geometry of spacetime and its singular nature », Honors Scholar Theses, n^o 497,‎ 2016, p. 32 p., § 2.2 « Birkhoff's theorem », p. 7-10 (résumé, lire en ligne, consulté le 17 janvier 2018).
[Vasset 2009] Nicolas Vasset et Jérôme Novak (dir.), Quelques aspects des horizons de trous noirs en relativité numérique (thèse de doctorat en astronomie), Paris, Université Paris-VII – Paris-Diderot, Laboratoire Univers et Théories, 30 juin 2009, 171 p., 30 cm (OCLC 690346916, SUDOC 137115849, présentation en ligne, lire en ligne [PDF]).

Liens externes

(en) Birkhoff's theorem (théorème de Birkhoff) sur l'Etymological Dictionary of Astronomy and Astrophysics de l'Observatoire de Paris.
(en) « Birkhoff's Theorem », sur ScienceWorld (consulté le 18 août 2014)

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