Théorème d'interversion série-intégrale

En analyse, divers théorèmes d'interversion série-intégrale donnent des conditions suffisantes d'intégration terme à terme de la somme d'une série de fonctions.

Version intégrale de Lebesgue

Théorème — Soient $(X, 𝒜, μ)$ un espace mesuré complet (par exemple un intervalle de ℝ, muni de la tribu de Lebesgue et de la mesure de Lebesgue), E un espace euclidien (par exemple ℝ ou ℂ) et $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ une suite de fonctions intégrables de $X$ dans E. On suppose que la série numérique $\sum _{n}\left(\int \|f_{n}\|~\mathrm {d} \mu \right)$ converge.

Alors la série de fonctions $\sum f_{n}$ converge presque partout sur $X$ vers une fonction intégrable et

\int \left(\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}\right)~\mathrm {d} \mu =\sum _{n=0}^{\infty }\left(\int f_{n}~\mathrm {d} \mu \right).

Remarques

Ce théorème se déduit des théorèmes de convergence monotone et dominée. L'intégrabilité de la série et l'interversion de $\sum$ et $\int$ subsistent sous une hypothèse bien plus faible : il suffit[1] que la série $\sum f_{n}$ converge presque partout et qu'il existe une fonction intégrable $g$ telle que, pour tout entier $N,\left|\sum _{n\leq N}f_{n}\right|\leq g$ .
C'est un cas particulier des théorèmes de Fubini où une des intégrales se fait par rapport à la mesure de comptage sur ℕ.
Dans le cas particulier où l'espace mesuré est ℕ muni de la tribu discrète et de la mesure de comptage, on retrouve le théorème d'interversion pour les séries doubles à valeurs dans E, sous l'hypothèse de sommabilité.

Théorème — Soient $I$ un segment de ℝ et $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ une suite de fonctions continues de $I$ dans E.

On suppose que la série de fonctions $\sum f_{n}$ converge uniformément sur $I$ vers une fonction $S$ .

\int _{I}S(x)~\mathrm {d} x=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\int _{I}f_{n}(x)~\mathrm {d} x\right).

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