Théorème d'Eilenberg-Zilber

Ce théorème s'applique aussi bien à des espaces topologiques et leurs complexes de chaînes singulières qu'à des ∆-complexes et leurs complexes de chaînes simpliciales car il porte plus généralement sur les modules simpliciaux[2] - [3].

Étant donnés deux modules simpliciaux M et N (sur un anneau commutatif arbitraire), on a deux façons naturelles de leur associer un complexe de chaînes :

• soit en formant d'abord les deux complexes de chaînes associés M_✲ et N_✲ puis en prenant le produit tensoriel M_✲⊗N_✲,
• soit en définissant d'abord le module simplicial produit M×N :(M×N)_n = M_n⊗N_n et chaque face ou dégénérescence de M×N est le produit tensoriel des faces ou dégénérescences correspondantes de M et N,puis en prenant le complexe de chaînes associé, (M×N)_✲.

Les deux complexes de chaînes M_✲⊗N_✲ et (M×N)_✲ ont même module de degré 0, M₀⊗N₀, et la technique des modèles acycliques (en)[3] - [4] permet, par récurrence sur le degré, de prolonger naturellement cet isomorphisme en degré 0 en deux morphismes de complexes de chaînes,

${\displaystyle f:(M\times N)_{*}\to (M_{*})\otimes (N_{*})\quad {\rm {et}}\quad g:(M_{*})\otimes (N_{*})\to (M\times N)_{*}}$

tels que f∘g et g∘f soient (naturellement) homotopes à l'identité. Ce couple (f, g) n'est unique qu'à équivalence d'homotopie (naturelle) près mais la méthode en fournit un, que l'on peut expliciter comme suit[2] - [5].

Pour préciser f, on introduit une notation commode : en chaque degré n, d désigne la dernière face, d_n. L'application f est l'application AW d'Alexander-Whitney, décrite par :

${\displaystyle AW_{n}=\sum _{p+q=n}({\bar {d}})^{q}\otimes (d_{0})^{p}:M_{n}\otimes N_{n}\to \bigoplus _{p+q=n}M_{p}\otimes N_{q}.}$

L'application g est l'application sh de shuffle, ou « produit de mélange » :

${\displaystyle sh_{p,q}=\sum _{(\mu ,\nu )}(-1)^{\varepsilon (\mu )}(s_{\nu _{q}}\ldots s_{\nu _{1}})\otimes (s_{\mu _{p}}\ldots s_{\mu _{1}}):M_{p}\otimes N_{q}\to M_{p+q}\otimes N_{p+q},}$

où la somme est prise sur tous les (p, q)-shuffles (μ, ν).