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(p, q)-shuffle

En mathématiques, pour deux entiers naturels p et q, un (p, q)-shuffle[1] est[2] - [3] un élément σ du groupe symétrique Sp+q des permutations de l'ensemble {1, …, p + q}[4], tel que

Les (p, q)-shuffles sont en bijection avec — et parfois définis comme[3] - [5] — les partitions de l'ensemble [p + q – 1] = {0, …, p + q – 1} en deux sous-ensembles complémentaires μ, ν à p et q éléments, numérotés en croissant :

Leur nombre est donc égal au coefficient binomial

et la signature de la permutation σ associée à la partition (μ, ν) est égale à[3]

Utilisations

Le produit extérieur de deux formes multilinéaires alternées, une p-forme et une q-forme, peut être défini comme une somme indexée par l'ensemble des (p, q)-shuffles et pondérée par leurs signatures.

Le shuffle, ou « produit de mélange », ou « application d'Eilenberg-MacLane[6] », défini de façon analogue, intervient dans une démonstration explicite du théorème d'Eilenberg-Zilber, comme quasi-isomorphisme réciproque de l'application d'Alexander-Whitney[3] - [5] - [6].

Le même type de sommes permet de munir l'algèbre tensorielle d'un espace vectoriel d'une structure de bigèbre.

Notes et références

  1. Ce nom anglais est une allusion au brassage de cartes (en), justifiée en détail par (en) Saunders Mac Lane, Homology, Springer, coll. « Grund. math. Wiss. » (no 114), , 4e éd. (1re éd. 1963), 422 p. (ISBN 978-3-540-58662-3, lire en ligne), p. 243.
  2. (en) Charles Weibel (en), An Introduction to Homological Algebra, CUP, , 450 p. (ISBN 978-0-521-55987-4, lire en ligne), p. 181.
  3. Mac Lane 1994, p. 243.
  4. Une variante est de permuter l'ensemble {0, …, p + q – 1}, comme (en) J. Peter May, Simplicial Objects in Algebraic Topology, UCP, (1re éd. van Nostrand, 1967), 161 p. (ISBN 978-0-226-51181-8, lire en ligne), p. 17.
  5. (en) Jean-Louis Loday, Cyclic Homology, Springer, coll. « Grund. math. Wiss. » (no 301), (1re éd. 1992), p. 47-48.
  6. May 1993, p. 133.
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