Système d'unités gaussiennes

Une différence entre les unités gaussiennes et SI réside dans les facteurs de 4 π dans diverses formules. Les unités électromagnétiques SI sont dites «rationalisées» car les équations de Maxwell n'ont pas de facteurs explicites de 4 π dans les formules. Inversemeent, les lois en carré inverse exprimant les forces – la loi de Coulomb et la loi de Biot-Savart – ont un facteur de 4 π attaché au terme en r². Dans les unités gaussiennes non rationalisées, la situation est inverse.

La quantité 4 π apparaît parce que 4 πr² est la surface de la sphère de rayon r, ce qui reflète la géométrie de la configuration. Pour plus de détails, voir les articles Relation entre la loi de Gauss et la loi de Coulomb et loi en carré inverse.

Une différence majeure entre les unités gaussiennes et SI réside dans la définition de l'unité de charge. Dans le SI, une unité de base distincte (l'ampère) est associée aux phénomènes électromagnétiques, avec pour conséquence par exemple que la charge électrique (1 coulomb = 1 ampère × 1 seconde) a une dimension propre déterminée et n'est pas exprimée uniquement en termes des unités mécaniques (kilogramme, mètre, seconde). En revanche, dans le système gaussien, l'unité de charge électrique (statcoulomb, statC) peut s'écrire entièrement comme une combinaison dimensionnelle des unités mécaniques (gramme, centimètre, seconde), comme :

1 statC = 1 g^1/2⋅cm^3/2⋅s^-1

Par exemple, la loi de Coulomb en unités gaussiennes n'a pas de constante :

${\displaystyle F={\frac {Q_{1}^{\text{G}}Q_{2}^{\text{G}}}{r^{2}}}}$

où F est la force de répulsion entre deux charges électriques, Q
₁ et Q
₂ sont les deux charges en question, et r est la distance qui les sépare. Si Q
₁ et Q
₂ sont exprimés en statC et r en cm, F sera exprimé en dyne.

La même loi en unités SI est :

${\displaystyle F={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}^{\text{SI}}Q_{2}^{\text{SI}}}{r^{2}}}}$

où ε₀ est la permittivité du vide, une quantité dont la dimension est s⁴⋅A²⋅kg⁻¹⋅m⁻³. Sans ε ₀, les deux côtés n'auraient pas de dimensions cohérentes en SI, alors que la quantité ε ₀ n'apparaît pas dans les équations gaussiennes. Ceci est un exemple de la façon dont certaines constantes physiques dimensionnelles peuvent être éliminées des expressions de la loi physique simplement par le choix judicieux des unités. Dans SI, 1 / ε ₀, convertit ou met à l'échelle la densité de flux, D, en champ électrique, E (ce dernier a une dimension de force par charge), tandis que dans les unités gaussiennes rationalisées, la densité de flux électrique est la même quantité que l'intensité du champ électrique dans le vide.

Dans les unités gaussiennes, la vitesse de la lumière c apparaît explicitement dans les formules électromagnétiques comme les équations de Maxwell (voir ci-dessous), alors qu'en SI elle n'apparaît que via le produit ${\displaystyle \mu _{0}\varepsilon _{0}=1/c^{2}}$.

Dans les unités gaussiennes, contrairement aux unités SI, le champ électrique E ^G et le champ magnétique B ^G ont la même dimension. Cela équivaut à un facteur de c entre la façon dont B est défini dans les deux systèmes unitaires, en plus des autres différences[2]. Le même facteur s'applique à d'autres grandeurs magnétiques telles que H et M.

Il existe d'autres différences entre les unités gaussiennes et SI dans la façon dont les quantités liées à la polarisation et à la magnétisation sont définies. D'une part, en unités gaussiennes, toutes les quantités suivantes ont la même dimension: E ^G, D ^G, P ^G, B ^G, H ^G et M ^G. Un autre point important est que la susceptibilité électrique et magnétique d'un matériau est sans dimension à la fois en unités gaussiennes et SI, mais un matériau donné aura une susceptibilité numérique différente dans les deux systèmes. L'équation est donnée ci-dessous.

Voici les équations de Maxwell, à la fois sous des formes macroscopiques et microscopiques. Seule la "forme différentielle" des équations est donnée, pas la "forme intégrale" ; pour obtenir les formes intégrales, appliquez le théorème de divergence ou le théorème de Kelvin – Stokes.

Nom	Quantités gaussiennes	Quantités ISQ
Loi de Gauss (macroscopique)	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} ^{\text{G}}=4\pi \rho _{\text{f}}^{\text{G}}}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} ^{\text{SI}}=\rho _{\text{f}}^{\text{SI}}}$
Loi de Gauss (microscopique)	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ^{\text{G}}=4\pi \rho ^{\text{G}}}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ^{\text{SI}}=\rho ^{\text{SI}}/\epsilon _{0}}$
Loi de Gauss pour le magnétisme :	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} ^{\text{G}}=0}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} ^{\text{SI}}=0}$
Équation de Maxwell – Faraday (Loi d'induction de Faraday) :	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} ^{\text{G}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} ^{\text{G}}}{\partial t}}}$	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} ^{\text{SI}}=-{\frac {\partial \mathbf {B} ^{\text{SI}}}{\partial t}}}$
Équation Ampère – Maxwell (macroscopique) :	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} ^{\text{G}}={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {J} _{\text{f}}^{\text{G}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {D} ^{\text{G}}}{\partial t}}}$	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} ^{\text{SI}}=\mathbf {J} _{\text{f}}^{\text{SI}}+{\frac {\partial \mathbf {D} ^{\text{SI}}}{\partial t}}}$
Équation Ampère – Maxwell (microscopique) :	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} ^{\text{G}}={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {J} ^{\text{G}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} ^{\text{G}}}{\partial t}}}$	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} ^{\text{SI}}=\mu _{0}\mathbf {J} ^{\text{SI}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} ^{\text{SI}}}{\partial t}}}$

Voici les expressions des différents champs dans un milieu diélectrique. On suppose ici pour simplifier que le milieu est homogène, linéaire, isotrope et non dispersif, de sorte que la permittivité est une constante simple.

Quantités gaussiennes	Quantités ISQ
${\displaystyle \mathbf {D} ^{\text{G}}=\mathbf {E} ^{\text{G}}+4\pi \mathbf {P} ^{\text{G}}}$	${\displaystyle \mathbf {D} ^{\text{SI}}=\varepsilon _{0}\mathbf {E} ^{\text{SI}}+\mathbf {P} ^{\text{SI}}}$
${\displaystyle \mathbf {P} ^{\text{G}}=\chi _{\text{e}}^{\text{G}}\mathbf {E} ^{\text{G}}}$	${\displaystyle \mathbf {P} ^{\text{SI}}=\chi _{\text{e}}^{\text{SI}}\varepsilon _{0}\mathbf {E} ^{\text{SI}}}$
${\displaystyle \mathbf {D} ^{\text{G}}=\varepsilon ^{\text{G}}\mathbf {E} ^{\text{G}}}$	${\displaystyle \mathbf {D} ^{\text{SI}}=\varepsilon ^{\text{SI}}\mathbf {E} ^{\text{SI}}}$
${\displaystyle \varepsilon ^{\text{G}}=1+4\pi \chi _{\text{e}}^{\text{G}}}$	${\displaystyle \varepsilon ^{\text{SI}}/\varepsilon _{0}=1+\chi _{\text{e}}^{\text{SI}}}$

où :

• E et D sont respectivement le champ électrique et le champ de déplacement ;
• P est la densité de polarisation ;
• ${\displaystyle \varepsilon }$ est la permittivité ;
• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ est la permittivité du vide (utilisée dans le système SI, mais dénuée de sens dans les unités gaussiennes) ;
• ${\displaystyle \chi _{\text{e}}}$ est la susceptibilité électrique.

Les quantités ${\displaystyle \varepsilon ^{\text{G}}}$ et ${\displaystyle \varepsilon ^{\text{SI}}/\varepsilon _{0}}$ sont tous les deux sans dimension, et ils ont la même valeur numérique. En revanche, la susceptibilité électrique ${\displaystyle \chi _{e}^{\text{G}}}$ et ${\displaystyle \chi _{e}^{\text{SI}}}$ sont tous deux sans unité, mais ont des valeurs numériques différentes pour le même matériau :

${\displaystyle 4\pi \chi _{\text{e}}^{\text{G}}=\chi _{\text{e}}^{\text{SI}}}$

Ensuite, voici les expressions des différents champs dans un milieu magnétique. Encore une fois, on suppose que le milieu est homogène, linéaire, isotrope et non dispersif, de sorte que la perméabilité est une constante simple.

Quantités gaussiennes	Quantités ISQ
${\displaystyle \mathbf {B} ^{\text{G}}=\mathbf {H} ^{\text{G}}+4\pi \mathbf {M} ^{\text{G}}}$	${\displaystyle \mathbf {B} ^{\text{SI}}=\mu _{0}(\mathbf {H} ^{\text{SI}}+\mathbf {M} ^{\text{SI}})}$
${\displaystyle \mathbf {M} ^{\text{G}}=\chi _{\text{m}}^{\text{G}}\mathbf {H} ^{\text{G}}}$	${\displaystyle \mathbf {M} ^{\text{SI}}=\chi _{\text{m}}^{\text{SI}}\mathbf {H} ^{\text{SI}}}$
${\displaystyle \mathbf {B} ^{\text{G}}=\mu ^{\text{G}}\mathbf {H} ^{\text{G}}}$	${\displaystyle \mathbf {B} ^{\text{SI}}=\mu ^{\text{SI}}\mathbf {H} ^{\text{SI}}}$
${\displaystyle \mu ^{\text{G}}=1+4\pi \chi _{\text{m}}^{\text{G}}}$	${\displaystyle \mu ^{\text{SI}}/\mu _{0}=1+\chi _{\text{m}}^{\text{SI}}}$

où :

• B et H sont les champs magnétiques ;
• M est la magnétisation ;
• ${\displaystyle \mu }$ est la perméabilité magnétique ;
• ${\displaystyle \mu _{0}}$ est la perméabilité du vide (utilisée dans le système SI, mais sans signification dans les unités gaussiennes) ;
• ${\displaystyle \chi _{\text{m}}}$ est la susceptibilité magnétique.

Les quantités ${\displaystyle \mu ^{\text{G}}}$ et ${\displaystyle \mu ^{\text{SI}}/\mu _{0}}$ sont tous les deux sans dimension, et ils ont la même valeur numérique. En revanche, la susceptibilité magnétique ${\displaystyle \chi _{\text{m}}^{\text{G}}}$ et ${\displaystyle \chi _{\text{m}}^{\text{SI}}}$ sont tous les deux sans unité, mais ont des valeurs numériques différentes dans les deux systèmes pour le même matériau :

${\displaystyle 4\pi \chi _{\text{m}}^{\text{G}}=\chi _{\text{m}}^{\text{SI}}}$

Les champs électriques et magnétiques peuvent s'écrire en termes de potentiel vectoriel A et de potentiel scalaire φ.

Nom	Quantités gaussiennes	Quantités ISQ
Champ électrique	${\displaystyle \mathbf {E} ^{\text{G}}=-\nabla \phi ^{\text{G}}-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {A} ^{\text{G}}}{\partial t}}}$	${\displaystyle \mathbf {E} ^{\text{SI}}=-\nabla \phi ^{\text{SI}}-{\frac {\partial \mathbf {A} ^{\text{SI}}}{\partial t}}}$
Champ magnétique B	${\displaystyle \mathbf {B} ^{\text{G}}=\nabla \times \mathbf {A} ^{\text{G}}}$	${\displaystyle \mathbf {B} ^{\text{SI}}=\nabla \times \mathbf {A} ^{\text{SI}}}$

Un certain nombre d'unités définies par le tableau ont des noms différents mais sont en fait dimensionnellement équivalentes - c'est-à-dire qu'elles ont la même expression en termes d'unités de base cm, g, s. Ceci est analogue à la distinction en SI entre becquerel et Hz, ou entre newton-mètre et joule. Les différents noms permettent d'éviter les ambiguïtés et les malentendus quant à la quantité physique mesurée. En particulier, toutes les quantités suivantes sont dimensionnellement équivalentes en unités gaussiennes, mais elles reçoivent néanmoins des noms d'unité différents comme suit[6] :