Suite équidistribuée

On définit l'écart D_N pour une suite {s₁, s₂, s₃, ...} par rapport à l'intervalle [a, b], sous la forme :

${\displaystyle D_{N}=\sup _{a\leq c\leq d\leq b}\left\vert {\frac {\left|\{\,s_{1},\dots ,s_{N}\,\}\cap [c,d]\right|}{N}}-{\frac {d-c}{b-a}}\right\vert .\,}$

Une suite est donc équidistribuée si l'écart D_N tend vers zéro lorsque N tend vers l'infini.

L'équirépartition est un critère assez faible pour exprimer le fait qu'une suite remplit le segment sans laisser d'espace. Par exemple, les dessins d'une variable aléatoire uniforme sur un segment seront équirépartis sur le segment, mais il y aura de grands écarts par rapport à une suite qui énumère d'abord les multiples de ε dans le segment, pour une petite ε, de manière appropriée, puis continue de le faire pour des valeurs plus petites et plus petites de ε.

Rappelons que si f est une fonction ayant une intégrale de Riemann dans l'intervalle [a, b], son intégrale sera donc la limite des sommes de Riemann prises par l'échantillonnage de la fonction f dans un ensemble de points choisis parmi une fine partition de l'intervalle. Par conséquent, si une suite est équirépartie dans [a, b], il est prévu que cette suite peut être utilisée pour calculer l'intégrale d'une fonction de l'intégrale de Riemann. Cela conduit au critère suivant[1] pour une suite équidistribuée :

Supposons que {s₁, s₂, s₃, ...} est une suite contenue dans l'intervalle [a , b]. Les conditions suivantes sont donc équivalentes :

1. La suite est équirépartie sur [a, b].
2. Pour toute intégrale de Riemann, la fonction f : [a, b] → C, la limite suivante est vérifiée :

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f\left(s_{n}\right)={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}$.

Ce critère amène à l'idée de l'intégration de Monte-Carlo, où les intégrales sont calculées en prélevant la fonction sur une suite de variables aléatoires équiréparties sur l'intervalle.

En fait, le théorème de Bruijn-Post indique l'inverse du critère ci-dessus : si f est une fonction telle que le critère est valable pour toute suite équidistribuée dans [a, b], alors, f est une intégrale de Riemann dans [a, b][2].

Illustration du remplissage de l'intervalle unitaire (abscisse) en utilisant les premiers termes n de la suite de Van der Corput, pour n de 0 à 999 (ordonnée). Le dégradé de couleur est dû au crénelage.

• Théorème d'équidistribution (en) : La suite de tous les multiples d'un irrationnel α,

0, α, 2α, 3α, 4α, ...

est équidistribuée modulo 1[3].

• Plus généralement, si p est un polynôme avec au moins un coefficient irrationnel (autre que le terme constant), alors la suite p(n) est uniformément répartie modulo 1.

Cela a été prouvé par Weyl[4].

• La suite log(n) n'est pas uniformément distribuée au modulo 1[3].
• La suite de tous les multiples d'un irrationnel α par les nombres premiers successifs,

2α, 3α, 5α, 7α, 11α, ...

est équidistribuée modulo 1. Ceci est un théorème célèbre de la théorie analytique des nombres, publié par Vinogradov en 1948[5].

• La suite Van der Corput est équidistribuée[6].

Le critère de Weyl indique que la suite de a_n est équidistribuée modulo 1 si et seulement si, pour tout nombre entier non nul ℓ,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \ell a_{j}}=0.}$

Le critère est nommé et formulé par Hermann Weyl[7]. Il permet de réduire les questions d'équirépartition aux limites sur les sommes exponentielles, une méthode générale et fondamentale.

• Une forme quantitative du critère de Weyl est donnée par l'inégalité d'Erdős-Turán.
• Le critère de Weyl s'étend naturellement à des dimensions supérieures, en adoptant la généralisation naturelle de la définition de l'équirépartition modulo 1 :

La suite v_n de vecteurs dans R^k est équidistribuée modulo 1 si et seulement si, pour tout vecteur non nul où ℓ ∈ Z^k,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=0}^{n-1}e^{2\pi {\rm {i\ell \cdot v_{j}}}}=0.}$

Le critère de Weyl peut être utilisé pour prouver facilement le théorème d'équirépartition, indiquant que la suite des multiples 0, α, 2α, 3α, ... d'un certain nombre réel α est équidistribuée modulo 1 si et seulement si α est irrationnel[3].

Supposons que α est irrationnel et notons notre suite a_j = jα (où j commence à 0, pour simplifier la formule ultérieurement). Soit ℓ ≠ 0 un entier. Comme α est irrationnel, ℓα n'est pas entier donc ${\displaystyle \mathrm {e} ^{2\pi {\rm {i\ell \alpha }}}}$ est différent de 1. En utilisant la formule pour une somme de termes consécutifs d'une suite géométrique,

${\displaystyle \left|\sum _{j=0}^{n-1}\mathrm {e} ^{2\pi {\rm {i\ell j\alpha }}}\right|=\left|\sum _{j=0}^{n-1}\left(\mathrm {e} ^{2\pi {\rm {i\ell \alpha }}}\right)^{j}\right|=\left|{\frac {1-\mathrm {e} ^{2\pi {\rm {i\ell n\alpha }}}}{1-\mathrm {e} ^{2\pi {\rm {i\ell \alpha }}}}}\right|\leq {\frac {2}{\left|1-\mathrm {e} ^{2\pi {\rm {i\ell \alpha }}}\right|}}}$,

un majorant qui ne dépend pas de n. Par conséquent, après division par n, le membre de gauche tend vers 0 quand n tend vers l'infini, et le critère de Weyl est vérifié.

À l'inverse, si α est rationnel, alors cette suite n'est pas équidistribuée modulo 1, parce qu'il n'y a qu'un nombre fini de choix possibles pour la partie fractionnaire de a_j = jα.

Le théorème de Johannes van der Corput[8] indique que si, pour tout h, la suite s_n+h − s_n est uniformément répartie modulo 1, alors il en sera de même pour s_n[9] - [10] - [11].

Un ensemble de van der Corput est un ensemble H d'entiers tels que, si pour tout h de H la suite s_n+h − s_n est uniformément répartie modulo 1, alors on peut conclure qu'il en sera de même pour s_n[10] - [11].

Les théorèmes métriques décrivent le comportement d'une suite paramétrée pour presque toutes les valeurs de certains paramètres α : qui est, pour des valeurs de α ne se trouvant dans un certain ensemble des mesures nulles de Lebesgue.

• Pour toute suite de nombres entiers distincts b_n, la suite {b_nα} est équidistribuée modulo 1 pour presque toutes les valeurs de α[12].
• La suite {αⁿ} est équidistribuée mod 1 pour presque toutes les valeurs de α > 1[13].

On ne sait pas si les suites {eⁿ} ou {πⁿ} sont équidistribuées mod 1. Cependant on sait que {αⁿ} n'est pas équidistribué mod 1, si α est un nombre de Pisot.

• (en) L. Kuipers et H. Niederreiter, Uniform Distribution of Sequences, Dover, 2006 (1^re éd. 1974), 416 p. (ISBN 0-486-45019-8, zbMATH 0281.10001)
• (en) Hugh L. Montgomery, Ten Lectures on the Interface Between Analytic Number Theory and Harmonic Analysis, Providence, RI, AMS, coll. « Regional Conference Series in Mathematics » (n^o 84), 1994, 220 p. (ISBN 0-8218-0737-4, zbMATH 0814.11001, lire en ligne)

• Suite à discrépance faible
• Nombre normal

• (en) Eric W. Weisstein, « Equidistributed Sequence », sur MathWorld
• (en) Eric W. Weisstein, « Weyl's Criterion », sur MathWorld
• (en) « Weyl's Criterion », sur PlanetMath
• (en) Lecture notes with proof of Weyl's Criterion