Singularité isolée

La singularité ${\displaystyle a}$ de ${\displaystyle f}$ est dite effaçable (ou apparente) si ${\displaystyle f}$ se prolonge au voisinage de ${\displaystyle a}$ en une fonction holomorphe. Autrement dit, on peut « effacer » la singularité ${\displaystyle a}$ et étendre ${\displaystyle f}$ en une fonction holomorphe définie au voisinage de ${\displaystyle a}$, que l'on note toujours en général, et de manière abusive, ${\displaystyle f}$.

Démonstration

Les implications 1⇒2⇒3⇒4 étant immédiates, démontrons 4⇒1. On peut supposer ${\displaystyle a=0}$ et se placer sur le disque épointé ${\displaystyle D'}$ de centre 0 et de rayon r. On considère donc une fonction ${\displaystyle f}$ holomorphe sur ${\displaystyle D'}$ et on suppose que ${\textstyle \lim _{z\to 0}zf(z)=0}$. On définit une fonction auxiliaire ${\displaystyle g}$, sur le disque ${\displaystyle D=D'\cup \{0\}}$ de centre 0 et de rayon r, par :${\displaystyle g(0)=0\quad {\text{et}}\quad \forall z\in D',~g(z)=z^{2}f(z)}$.D'après les hypothèses, ${\displaystyle g}$ est holomorphe sur ${\displaystyle D'}$ et dérivable en 0 (avec ${\displaystyle g'(0)=\lim _{z\to 0}{\frac {g(z)}{z}}=0}$). Par conséquent, ${\displaystyle g}$ est holomorphe sur ${\displaystyle D}$ ; elle est donc développable en série entière au voisinage de 0 (le rayon de convergence de la série est au moins égal à r) :${\displaystyle g(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}z^{n}}$

et les deux premiers coefficients sont ${\displaystyle a_{0}=g(0)=0}$ et ${\displaystyle a_{1}=g'(0)=0}$.

La série entière${\displaystyle \sum _{n\geq 2}a_{n}z^{n-2},}$

qui a même rayon de convergence que la précédente, définit alors un prolongement holomorphe de ${\displaystyle f}$ au voisinage de 0.

Par exemple, la fonction

${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{*}\longmapsto {\frac {\sin z}{z}}}$

admet une singularité effaçable en ${\displaystyle z=0}$, puisqu'au voisinage de ${\displaystyle z=0}$, ${\displaystyle \sin z\sim z}$ donc ${\displaystyle f(z)\sim 1}$, la fonction ${\displaystyle f}$ reste bornée au voisinage de l'origine.

Si ${\displaystyle a}$ est une singularité effaçable, alors le résidu de ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle a}$ est nul (la réciproque est fausse).

La singularité ${\displaystyle a}$ est appelée un pôle de ${\displaystyle f}$ si d'une part la singularité est non effaçable et d'autre part pour ${\displaystyle n}$ entier suffisamment grand, la fonction ${\displaystyle z\mapsto (z-a)^{n}f(z)}$ se prolonge en une fonction holomorphe en ${\displaystyle a}$. Le plus petit entier ${\displaystyle n}$ possible est appelé l'ordre du pôle ${\displaystyle a}$. Il est donc strictement positif et caractérisé, d'après le théorème précédent, par le fait que lorsque ${\displaystyle z}$ tend vers ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle (z-a)^{n}f(z)}$ tend vers une limite finie non nulle.

De manière équivalente, ${\displaystyle a}$ est un pôle si et seulement si ${\displaystyle |f|}$ tend vers l'infini en ${\displaystyle a}$.

Les fractions rationnelles sont des exemples typiques de fonctions présentant des pôles. On peut aussi citer les célèbres fonctions gamma d'Euler et zêta de Riemann qui présentent toutes les deux des pôles.

Une fonction holomorphe n'admettant que des pôles comme singularités isolées est appelée une fonction méromorphe.

Si la singularité ${\displaystyle a}$ n'est ni une singularité effaçable, ni un pôle, on dit que c'est une singularité essentielle. Si c'est le cas, le comportement de ${\displaystyle f}$ au voisinage de ${\displaystyle a}$ est très compliqué. En particulier, on peut citer le théorème de Weierstrass-Casorati et les deux théorèmes de Picard.

Par exemple, la fonction

${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{*}\longmapsto \exp \left({\frac {1}{z}}\right)}$

a une singularité essentielle à l'origine.