Simulation d'un système à N corps

Exemple de construction d'arborescence selon la méthode de Barnes-Hut

Dans les méthodes arborescentes[1], telles qu'une simulation de Barnes-Hut, une arborescence (octree) est généralement utilisée pour diviser le volume en cellules cubiques et seules les interactions entre les particules des cellules voisines doivent être traitées individuellement ; les particules dans les cellules distantes peuvent être traitées collectivement comme une seule grande particule centrée sur le centre de masse de la cellule distante (ou comme une expansion multipolaire d'ordre inférieur). Cela peut réduire considérablement le nombre d'interactions de paires de particules qui doivent être calculées.

Pour éviter que la simulation ne soit submergée par le calcul des interactions particule-particule, les cellules doivent être subdivisées en cellules plus petites dans les parties plus denses de la simulation, celles qui contiennent de nombreuses particules par cellule. Pour les simulations où les particules ne sont pas uniformément réparties, les méthodes de de Callahan et Kosaraju donnent un temps de calcul d'ordre ${\textstyle N\log N}$ par itération, pour une dimension fixe.

Une autre possibilité est la méthode des particules sur mailles (en)[2], dans laquelle l'espace est discrétisé sur un maillage et pour le calcul du potentiel gravitationnel, les particules sont supposées être réparties entre les sommets les plus proches du maillage. Le calcul de l'énergie potentielle ${\displaystyle \Phi }$ est facile, car l'équation de Poisson :

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi =4\pi G{\rho },\,}$

est triviale à résoudre en utilisant la transformée de Fourier rapide : G est la constante de gravitation et ${\displaystyle {\rho }}$ la densité (nombre de particules aux points du maillage). Par la transformation de Fourier, l'équation de Poisson a la forme simple dans le domaine fréquentiel :

${\displaystyle {\hat {\Phi }}=-4\pi G{\frac {\hat {\rho }}{k^{2}}},\,}$

où ${\displaystyle {\vec {k}}}$ est le nombre d'onde, ${\displaystyle {\hat {\Phi }}\,}$et ${\displaystyle {\hat {\rho }}\,}$désignent les transformées de Fourier du potentiel et de la densité. Comme ${\displaystyle {\vec {g}}=-{\vec {\nabla }}\Phi }$, le champ gravitationnel est obtenu en multipliant ${\displaystyle {\hat {\Phi }}\,}$ par ${\displaystyle -i{\vec {k}}}$ et en calculant la transformée de Fourier inverse. Étant donné que cette méthode est limitée par la taille du maillage, en pratique, un maillage plus petit ou une autre technique (comme la combinaison avec un arbre ou un algorithme simple particule-particule) sont utilisés pour calculer les forces à petite échelle. Parfois, un maillage adaptatif est utilisé, dans lequel les mailles sont beaucoup plus petites dans les régions les plus denses de la simulation (voir figure).

Plusieurs algorithmes différents de perturbation gravitationnelle sont utilisés pour obtenir des estimations assez précises de la trajectoire des objets dans le système solaire.

Il est souvent nécessaire de placer un satellite sur une orbite stationnaire. La trajectoire d'un satellite en orbite proche de la Terre peut être modélisée avec précision à partir de l'orbite elliptique à 2 corps autour du centre de la Terre, et en ajoutant de petites corrections dues à la géométrie de la Terre, à l'attraction gravitationnelle du Soleil et de la Lune, à la traînée atmosphérique, etc. Il est possible de trouver une orbite stationnaire sans calculer la trajectoire réelle du satellite.

Simulation des trajectoires de 4 planètes rocheuses autour du Soleil

La trajectoire d'une petite planète, d'une comète ou d'un vaisseau spatial à longue portée peut souvent être modélisée avec précision à partir de l'orbite elliptique à 2 corps autour du soleil, et en ajoutant de petites corrections dues à l'attraction gravitationnelle des plus grandes planètes sur leurs orbites connues.

Certaines caractéristiques des trajectoires d'un système de particules sur des temps très longs peuvent être calculées directement. La trajectoire réelle d'une particule particulière n'a pas besoin d'être calculée comme étape intermédiaire. Les caractéristiques que l'on peut estimer incluent la stabilité de Liapounov, le durée de Liapounov, diverses grandeurs mesurables de la théorie ergodique, etc.

La régularisation est une astuce numérique utilisée dans les techniques à N corps pour éviter les divergences numériques lorsqu'une particule s'approche trop près d'une autre (et donc que l'intensité de la force tende vers l'infini). Ceci est obtenu en régularisant le potentiel gravitationnel de chaque particule, sous la forme

${\displaystyle \Phi =-{\frac {1}{\sqrt {r^{2}+\epsilon ^{2}}}},}$

(plutôt que 1/r) où ε est un paramètre ajustable. La valeur de ce paramètre doit être suffisamment petite pour que les simulations restent réalistes.

• Problème à N corps
• Simulation informatique
• Millenium simulation
• Structure à grande échelle du cosmos
• Formation et évolution des galaxies
• Simulation Barnes–Hutte

• (en) Mark Vogelsberger, Federico Marinacci, Paul Torrey et Ewald Puchwein, "Cosmological simulations of galaxy formation" Nature Reviews Physics, vol. 2, n^o 1 janvier 2020, p. 42–66 (ISSN 2522-5820, DOI 10.1038/s42254-019-0127-2
• (en) Sverre J. Aarseth, Gravitational N-body Simulations: Tools and Algorithms, Cambridge University Press, 2003 (ISBN 978-0-521-12153-8)
• Bertschinger, « Simulations of structure formation in the universe », Annual Review of Astronomy and Astrophysics, vol. 36, n^o 1,‎ 1998, p. 599–654 (DOI 10.1146/annurev.astro.36.1.599, Bibcode 1998ARA&A..36..599B)
• James Binney et Scott Tremaine, Galactic Dynamics, Princeton University Press, 1987 (ISBN 978-0-691-08445-9)
• Paul B. Callahan et Sambasiva Rao Kosaraju, STOC '92: Proc. ACM Symp. Theory of Computing, ACM, 1992, « A decomposition of multidimensional point sets with applications to k-nearest-neighbors and n-body potential fields (preliminary version) ».