Résonance de Helmholtz

Un modèle mathématique simple permet d'expliquer quantitativement le résonateur de Helmholtz et d'estimer sa fréquence propre.

Schéma d'un résonateur de Helmholtz.

Ce modèle est établi sous les hypothèses suivantes :

1. le résonateur est assimilé à une cavité fermée de volume V (que l'on appelle la bouteille) qui communique avec l'extérieur par l'intermédiaire d'un petit tube de longueur L et de section A, que l'on appelle le col du résonateur ;
2. les dimensions pré-citées sont petites devant la longueur des ondes acoustiques considérées ;
3. l'air est considéré comme un gaz parfait ;
4. la bouteille est parfaitement thermiquement isolée, ou peut être considérée comme telle dans les échelles de temps mises en jeu au passage d'une onde acoustique ;
5. tous les effets dissipatifs, comme le frottement de l'air sur les parois ou les pertes par rayonnement acoustique, peuvent être ignorés, car ils influent relativement peu sur la valeur de la fréquence propre.

Sous l'effet d'une perturbation extérieure, il apparaît un petit déplacement de la colonne d'air à l'intérieur du col, d'amplitude notée ${\displaystyle \xi }$. Le volume correspondant d'air déplacé dans la bouteille est donc :

${\displaystyle dv=A\xi }$.

Compte tenu des hypothèses 3 et 4 ci-dessus, la loi de Laplace définit la variation de pression correspondante dans la bouteille :

${\displaystyle dp=-{\frac {\gamma p}{V}}dv}$

avec ${\displaystyle \gamma }$ le rapport des chaleurs spécifiques, et p la pression atmosphérique.

Cette variation de pression engendre une force de rappel sur la colonne d'air[1], donnée par :

${\displaystyle dF=-{\frac {\gamma pA^{2}}{V}}\xi }$.

En appliquant le principe fondamental de la dynamique à cette colonne d'air, il est possible d'exprimer son équation du mouvement :

${\displaystyle \rho AL{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+{\frac {\gamma pA^{2}}{V}}\xi =0}$

avec ${\displaystyle \rho }$ la masse volumique de l'air.

Cette équation est celle d'un oscillateur linéaire à un degré de liberté :

${\displaystyle {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}\xi =0}$.

Avec ${\displaystyle \omega _{0}=2\pi f_{0}}$ la pulsation propre de l'oscillateur.

Sa fréquence propre ${\displaystyle f_{0}}$ est donc définie par :

${\displaystyle f_{0}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {\gamma pA}{\rho VL}}}}$.

Soit encore, en faisant apparaître la vitesse du son ${\displaystyle c^{2}={\frac {\gamma p}{\rho }}}$ :

${\displaystyle f_{0}={\frac {c}{2\pi }}{\sqrt {\frac {A}{VL}}}}$.

Du fait de l'hypothèse 2, le modèle linéaire obtenu ne dépend en fait que de facteurs macroscopiques, liés aux oscillations libres de l'inertance pneumatique ${\displaystyle {\frac {\rho A}{L}}}$ de la colonne d'air dans le col sur la raideur pneumatique ${\displaystyle {\frac {\gamma p}{V}}}$ de l'air contenu dans la bouteille. Cet oscillateur est analogue à un système masse-ressort et ne fait pas intervenir la propagation des ondes. La résonance de Helmholtz à la fréquence ${\displaystyle f_{0}}$ doit donc être distinguée des modes propres acoustiques de la cavité, qui sont solutions de l'équation d'Helmholtz, et se situent à des fréquences beaucoup plus élevées que ${\displaystyle f_{0}}$.

• (en) William C. Elmore et Mark A. Heald, Physics of Waves, New York, McGraw-Hill, 1969.