Réseau de diffraction

Réseaux de diffraction du télescope spatial Chandra (rayons X).

En 1786, l'astronome américain, David Rittenhouse, réalisa un réseau de diffraction en transmission en tendant des cheveux entre deux pas de vis très fins (une cinquantaine de cheveux sur des filets de 116 puis 190 pas par pouce). Fraunhofer utilisa la même technique avec des fils métalliques en 1821[1]. Les réseaux furent ensuite gravés mécaniquement puis par photogravure.

Le principe des réseaux de diffraction repose sur une même formule pouvant être démontrée soit par l'optique physique, soit par la théorie électromagnétique de Maxwell. Il se base sur le principe de Huygens-Fresnel.

Le calcul sur un réseau est très similaire au calcul fait sur les fentes de Young (voir cet article) : la différence de marche entre deux traits (donc le déphasage des rayons diffusés par deux traits voisins) se calcule de la même manière. La différence est qu'au lieu d'avoir la somme de deux fonctions d'onde, on a la somme d'une série « infinie » (le nombre de traits étant très grand) :

${\displaystyle \mathrm {E} (x,t)=\sum _{i=0}^{\infty }\mathrm {E} _{i}=\mathrm {E} _{0}\cdot \sum _{i=0}^{\infty }\cos(\omega t-\Delta \varphi (x))}$

en reprenant les notations des fentes de Young :

• x est l'abscisse du point sur l'écran de visualisation, sur un axe perpendiculaire aux traits du réseau ;
• E(x, t) est l'amplitude de l'onde à l'abscisse x et à l'instant t ;
• E₀·sin(ωt ) est l'amplitude de l'onde incidente arrivant sur le trait 0, ω étant la pulsation ;
• ${\displaystyle \Delta \varphi (x)={\frac {2\pi \mathrm {V} x}{\lambda \mathrm {D} }}}$ est le déphasage entre deux traits voisins, avec
  • V le pas du réseau ;
  • D la distance entre le réseau et l'écran de visualisation de la figure de diffraction (écran parallèle au plan du réseau).

Si l'on est en condition de diffraction entre deux traits (cas des fentes de Young), on l'est également entre tous les traits : le déphasage est partout un multiple de 2π. On va donc avoir des maxima d'intensité en

${\displaystyle x_{k}=k\cdot {\frac {\lambda \mathrm {D} }{\mathrm {V} }}}$

ou bien, si l'écran est « à l'infini » (c'est-à-dire à plusieurs mètres ou bien dans le plan focal image d'une lentille convergente), on considère l'angle de déviation α donnant un maximum d'intensité :

${\displaystyle \alpha _{k}=\arcsin \left(k\cdot {\frac {\lambda }{\mathrm {V} }}\right)}$

Illustration du principe d'interférence dans un réseau de diffraction en transmission. Dans l'équation du réseau en transmission de cette page, θ_i=α et θ_m=-β. [note 2]

Lorsque la lumière est incidente sur un réseau de transmission, elle n'est réfléchie ou transmise qu'en certains points, les traits du réseau. Chaque trait diffuse la lumière dans toutes les directions, et ces ondes interfèrent (voir image). Comme les traits sont disposés de manière régulière, on a une alternance interférence constructive/interférence destructive selon l'angle de diffusion. On peut ainsi calculer, pour une longueur d'onde λ donnée, les angles θ_m pour lesquels on aura une interférence constructive[2] - [3].

Réseau en réflexion

Soit n₁ l'indice du milieu de propagation de l'onde incidente (de longueur d'onde λ). Soit θ_i l'angle d'incidence et θ_m l'angle de réflexion pour lequel on a une interférence constructive. Soit d le pas du réseau et m un nombre entier. Comme on peut le déduire en regardant le schéma du réseau réflectif, il y a des interférences constructives si

${\displaystyle n_{1}\sin \theta _{m}=n_{1}\sin \theta _{i}-m{\frac {\lambda }{d}}}$

Différence de chemin entre rayons diffusés par différents traits d'un réseau réflectif.

Réseau en transmission

Soit n₁ l'indice du milieu de propagation de l'onde incidente (de longueur d'onde λ), et n₂ l'indice du milieu transparent dans la fente du réseau (on peut avoir n₁ = n₂ si le réseau est une simple série de fentes vides). Soit θ_i l'angle d'incidence et θ_m l'angle de réfraction pour lequel on a une interférence constructrive. Soit d le pas du réseau et m un nombre entier. On a des interférences constructives si

${\displaystyle n_{2}\sin \theta _{m}=n_{1}\sin \theta _{i}+m{\frac {\lambda }{d}}}$

Dans ces deux formules, les angles sont décrits par une valeur algébrique.

Le nombre m se nomme le « mode », ou encore « ordre de diffraction ». Dans chaque cas étudié, le nombre de modes se déduit des équations précédentes en notant que

-1 ≤ sin θ_m ≤ 1

chaque longueur d'onde est donc diffractée dans plusieurs directions. En fait il existe plus de modes mais ceux-ci restent en surface du réseau.

Dispersion angulaire

On appelle dispersion angulaire la dérivée

${\displaystyle {\frac {dr}{d\lambda }}}$.

Efficacité

Soit A_m l'amplitude de l'onde réfléchie à l'ordre m.

L'efficacité ressemble en tous points au coefficient de réflexion d'une onde. On la définit, à l'ordre m, par :

${\displaystyle \left|\mathrm {A} _{m}\right|^{2}{\frac {\cos r}{\cos i}}}$

Intervalle spectral libre (ISL)

Il est défini par le rapport

${\displaystyle {\frac {\lambda }{m}}}$.

Il correspond à l'intervalle maximal de longueur d'onde pour qu'il n'y ait pas recouvrement d'ordre.

Résolution

La résolution est limitée car le réseau a une dimension finie (convolution par fonction porte d'un signal échantillonné, donc problème de recouvrement spectral). Elle est donnée par

${\displaystyle {\frac {\lambda \cdot m}{\mathrm {V} }}}$.

Raies spectrales du mercure observées à travers un réseau de diffraction dans un goniomètre.

Les applications sont diverses en spectroscopie car l'angle de sortie dépend de la longueur d'onde étudiée. Ainsi, les réseaux sont utilisés dans les spectroscopes de type Littrow ou dans le montage de Czerny-Turner (voir l'article Analyse dispersive en longueur d'onde).

Principe de fonctionnement d'un monochromateur : le réseau permet de séparer les couleurs.

Les réseaux peuvent être utilisés comme monochromateurs : en choisissant une direction, on peut sélectionner une seule longueur d'onde. Il est donc possible de les utiliser dans les lasers accordables. On peut aussi graver un réseau dans une fibre optique (FBG, fiber Bragg grating )[4], et donc avoir une fibre qui sélectionne les longueurs d'onde transmise en fonction de son élongation ; cela permet de réaliser des capteurs de déformation ou de température (par le phénomène de dilatation).

De plus, lorsqu'un réseau se déplace d'une longueur ${\displaystyle x}$, il introduit un déphasage de ${\displaystyle {\frac {p\cdot 2\pi }{\mathrm {V} }}}$, donc grâce aux interférences entre les modes 1 et -1 on peut remonter au déplacement du réseau. On peut donc ainsi réaliser un capteur de déplacement de haute résolution.

Les réseaux sont également très utiles dans l'enseignement car ils permettent de comprendre les propriétés de la lumière ; ils sont souvent utilisés en travaux pratiques.

Il existe également des réseaux bidimensionnels, composé de lignes non parallèles ou de points. À la base, l'holographie consiste à créer un réseau bidimensionnel en impressionnant une pellicule photographique. La restitution de l'image est en fait la figure de diffraction sur ce réseau. Un autre exemple est la diffraction de la lumière sur un disque compact, les bits étant autant de points.

Il existe enfin des réseaux tridimensionnels : les cristaux. La structure cristalline est un objet périodique dont chaque atome est un site de diffusion. C'est la base de la diffraction de rayons X, de la figure de diffraction en microscopie électronique en transmission, des pseudo-lignes de Kikuchi (en) utilisée en EBSD (microscopie électronique à balayage), et de la diffraction de neutrons. Voir les articles Loi de Bragg et Théorie de la diffraction sur un cristal.

Nous avons vu ci-dessus que moins un réseau à une dimension a de traits, plus les pics de diffraction sont large. De même, moins un cristallite a d'atomes (plus il est petit), plus les pics sont larges. Cela permet d'estimer la taille de cristallite par diffraction de rayons X, voir l'article Formule de Scherrer.