Puissance d'un nombre

On considère un nombre a quelconque et un entier naturel n non nul. La puissance énième de a, notée aⁿ et lue « a puissance n »[1], ou « a exposant n » est le résultat de la multiplication de ce nombre a par lui-même n – 1 fois :

${\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times \cdots \times a} _{n{\text{ facteurs}} \atop n-1{\text{ signes }}\times }=\prod _{i=1}^{n}a}$

Le nombre n est appelé l'exposant de la puissance aⁿ.

Le nombre n est un entier naturel (donc positif) et aⁿ est une puissance à exposant entier positif de a.

Cas particuliers

• a¹ = a ;
• On appelle a² la puissance carrée ou le carré de a ;
• On appelle a³ la puissance cubique ou le cube de a.

On remarque que, quel que soit l'entier naturel n non nul, 0ⁿ = 0 et 1ⁿ = 1 (ces nombres sont idempotents).

Pour tout réel a, on pose a⁰ = 1 d'après la convention sur les produits vides. Cette définition sera cohérente avec les opérations algébriques sur les puissances.

La convention 0⁰ = 1 est utilisée dans un cadre abstrait plus large, par exemple pour identifier le polynôme X⁰ avec la fonction constante de valeur 1. De même, dans le cadre de la théorie des ensembles, la notation 0⁰ peut représenter le nombre d'éléments de l'ensemble des applications de l'ensemble vide dans lui-même et donc valoir 1.

Cependant, l'application ${\displaystyle (x,y)\mapsto x^{y}=\exp(y\ln(x))}$, bien définie sur ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}\times \mathbb {R} }$, n'admet pas de prolongement par continuité en (0, 0), ce qui interdit le choix d'une convention acceptable en toute généralité. Néanmoins des conventions sont possibles, limitées à des domaines bien définis[2].

On considère maintenant un nombre a non nul et un entier naturel n. Le nombre a^–n, lu « a puissance moins n », ou « a exposant moins n » par abus de langage, est l'inverse de la puissance n-ième de a, c'est-à-dire :

${\textstyle a^{-n}={\dfrac {1}{a^{n}}}.}$

Le nombre –n est l'exposant de la puissance a^–n.

Le nombre –n étant négatif, car n est un entier naturel, a^–n est une puissance de a à exposant négatif. On notera, en particulier, que a^–1 = 1/a (l'inverse du nombre a).

On peut appliquer cette règle pour transformer une puissance positive en inverse d'une puissance négative :

${\displaystyle a^{n}={\dfrac {1}{a^{-n}}}}$

Il n'y a pas de rapport direct entre le signe du nombre et le signe du résultat. Celui-ci dépend de la parité de l'exposant.

Un nombre élevé à une puissance paire donne un résultat positif : si n est pair, alors (–a)ⁿ = aⁿ.

Un nombre élevé à une puissance impaire donne un résultat du même signe : si n est impair, alors (–a)ⁿ = –aⁿ.

Exemples

• (–2)³, puissance cubique de –2, vaut (–2)×(–2)×(–2) = –8 < 0.
• 3^–4, l'inverse de la puissance quatrième de 3, vaut

${\displaystyle {\dfrac {1}{3^{4}}}={\dfrac {1}{3\times 3\times 3\times 3}}={\dfrac {1}{81}}>0}$.

Remarque.

Il ne faut pas confondre les écritures (–a)ⁿ, où la puissance s'applique à –a (signe moins compris) et –aⁿ, où la puissance s'applique à a uniquement. En effet :

• ${\displaystyle (-a)^{n}=(-a)\times (-a)\times (-a)\times \dots \times (-a)}$
• ${\displaystyle -a^{n}=-a\times a\times a\times \dots \times a}$

Il n'y a pas de formule générale sur les additions ou les soustractions de puissances, sauf la factorisation de aⁿ – bⁿ et le développement de (a + b)ⁿ.

En revanche, pour les multiplications et les divisions de puissances, on sait que pour tous nombres a et b et pour tous entiers naturels m et n :

• ${\displaystyle a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}}$ ;
• ${\displaystyle {\dfrac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}{\text{ si }}a\neq 0}$ ;
• ${\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{m\times {n}}=a^{n\times {m}}=(a^{n})^{m}}$ ;
• ${\displaystyle (a\times {b})^{n}=a^{n}\times {b^{n}}}$ ;
• ${\displaystyle \left({\dfrac {a}{b}}\right)^{n}={\dfrac {a^{n}}{b^{n}}}{\text{ si }}b\neq 0}$.

Ces formules sont encore valables si m ou n sont des entiers strictement négatifs, à condition que a et b soient non nuls.

On remarque que toutes ces formules sont cohérentes entre elles et avec la convention « a⁰ = 1 pour tout nombre réel a ≠ 0 ». Par exemple, pour tout entier naturel n ≠ 0 et pour tout réel a ≠ 0, ${\displaystyle a^{0}=a^{n-n}={\dfrac {a^{n}}{a^{n}}}=1.}$Attention: ${\displaystyle (a^{n})^{m}\neq a^{(n^{m})}}$, sauf pour des cas très particuliers ; de ce fait, l'écriture ${\displaystyle a^{n^{m}}}$est ambiguë et, bien qu'il existe une convention qui favorise la désambiguïsation ${\displaystyle a^{n^{m}}=a^{(n^{m})}}$, celle-ci devrait être évitée sans parenthésage univoque[3].

Les puissances de 10 sont des cas particuliers de puissance. Leur intérêt réside dans le fait que notre écriture est décimale.

Le nombre 10 élevé à une puissance entière positive n est un chiffre 1 suivi de n zéros.

Le nombre 10 élevé à une puissance entière négative –n est un 1 placé à la n-ième position dans un nombre décimal, c.-à-d. précédé de n zéros en comptant celui avant la virgule.

On utilise fréquemment les puissances multiples de 3, qui correspondent aux préfixes du Système international d'unités :

Si la virgule signale la position des unités dans l'écriture d'un nombre décimal, multiplier par 10 revient à déplacer la virgule d'un rang vers la droite et diviser par 10 revient à déplacer la virgule d'un rang vers la gauche. Donc multiplier par 10ⁿ pour tout entier positif n revient à déplacer la virgule de n rangs vers la droite ; diviser par 10ⁿ pour tout entier positif n revient à déplacer la virgule de n rangs vers la gauche. Ainsi,

• 325,72 × 10 = 3 257,2
• 325,72/10 = 32,572
• 325,72 × 10⁵ = 32 572 000
• 325,72/10⁵ = 0,0032572

Les propriétés énoncées sur les puissances de a restent valables pour les puissances de 10.

L'utilisation des puissances de 10 intervient :

• dans l'écriture explicite en base 10 :

325,72 = 3·10² + 2·10¹ + 5·10⁰ + 7·10⁻¹ + 2·10^–2 ;

• dans l'écriture scientifique des nombres décimaux :

325,72 est noté 3,2572 × 10²

où le nombre est écrit comme le produit d'un nombre, appelé mantisse, compris entre 1 et 10 (strictement inférieur à 10), avec une puissance entière de 10 appelée exposant ;

• et dans la notation ingénieur :

325,72 est noté 325,72

32 572 est noté 32,572 × 10³

où le nombre est écrit comme produit d'un nombre compris entre 1 et 999 compris, avec une puissance de 10 dont l'exposant est un multiple de 3.

On peut aussi élever un nombre a strictement positif à une puissance à exposant réel quelconque.

Pour cela, on peut définir successivement :

• d'abord des puissances fractionnaires simples : a^1/n = ⁿ√a, où n est un entier, qui coïncident avec les racines n-ièmes pour tout a > 0. Voir racine carrée, racine cubique et racine d'un nombre ;
• puis des puissances fractionnaires composées : a^p/q = (a^1/q)^p = (a^p)^1/q ;
• et enfin, par continuité, des puissances à exposant réel quelconque : a^x peut ainsi être défini pour tout x réel et tout a > 0.

Pour un nombre a > 0 donné, la fonction ${\displaystyle x\mapsto a^{x}}$ ainsi obtenue est appelée fonction exponentielle de base a. Elle peut s'exprimer à l'aide des seules fonctions logarithme népérien et exponentielle :

${\displaystyle a^{x}=\exp(x\ln(a))}$

Ces puissances fractionnaires et réelles répondent aux mêmes règles que les puissances entières. Notamment, pour tous a > 0, b et c réels quelconques :

• ${\displaystyle a^{b}\times a^{c}=a^{b+c}~;}$
• ${\displaystyle (a^{b})^{c}=a^{b\times c}.}$

On a en particulier :

• ${\displaystyle a^{-1/b}={\dfrac {1}{\sqrt[{b}]{a}}}}$ pour tout entier b non nul ;
• ${\displaystyle {\sqrt[{c}]{a^{b}}}=\left({\sqrt[{c}]{a}}\right)^{b}=a^{b/c}}$ si c est entier non nul ;
• ${\displaystyle (a^{b})^{1/b}=(a^{1/b})^{b}={\sqrt[{b}]{a^{b}}}=\left({\sqrt[{b}]{a}}\right)^{b}=a^{b/b}=a}$ si b est entier non nul.

De même, ${\displaystyle (a^{n})^{m}\neq a^{(n^{m})}}$, sauf pour des cas très particuliers suivants :

• Si a, n ou m est nul et les deux autres sont tous deux non nuls.
• Si m=1 et a et b ne sont pas tous deux nuls
• Si aucun des cas ci-dessus: ${\displaystyle \forall a>0,\forall m>0,n=e^{\frac {\ln m}{m-1}}}$

• Gogolplex
• Exponentielle
• Notation des flèches de Knuth