Principe du maximum (équations aux dérivées partielles)

Les fonctions harmoniques sont l'exemple classique pour lequel s'applique le principe du maximum fort. De façon formelle, si f est une fonction harmonique, alors f ne peut pas posséder un maximum local véritable à l'intérieur de son domaine de définition. En d'autres mots, ou bien f est constante, ou bien, pour tout point ${\displaystyle x_{0}\,}$ de l'intérieur du domaine de définition de f, il existe d'autres point arbitrairement proches de ${\displaystyle x_{0}\,}$ en lesquels f prend des valeurs plus grandes[2].

Soit f une fonction définie sur Ω , un ouvert connexe de l'espace euclidien Rⁿ. Si ${\displaystyle x_{0}\,}$ est un point de Ω tel que

${\displaystyle f(x_{0})\geq f(x)}$

pour tout x dans un voisinage de ${\displaystyle x_{0}\,}$, alors la fonction f est constante sur Ω .

En remplaçant "maximum" par "minimum" et "plus grande" par "plus petite", on obtient le principe du minimum pour les fonctions harmoniques.

Le principe du maximum est aussi valable pour l'ensemble plus général des fonctions sous-harmoniques, tandis que leurs opposées, les fonctions super-harmoniques, satisfont le principe du minimum[3].

Soit u = u(x), x = (x₁, …, x_n) une fonction C² qui satisfait l'inégalité différentielle suivante :

${\displaystyle Lu=\sum _{ij}a_{ij}(x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\sum _{i}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}\geq 0}$

dans un ouvert Ω, où la matrice symétrique a_ij = a_ij(x) est localement uniformément définie positive dans Ω et les coefficients a_ij, b_i = b_i(x) sont localement bornés. Si u atteint son maximum M dans Ω , alors u ≡ M.

Il est généralement admis que le principe du maximum de Hopf ne s'applique qu'aux opérateurs différentiels linéaires. C'est en particulier le point de vue que l'on trouve dans l'ouvrage Methoden der mathematischen Physik (en) de Courant et Hilbert. Cependant, dans les dernières sections de son papier originel, Hopf a considéré des situations plus générales mettant en jeu des opérateurs non-linéaires, et dans certains cas il a ainsi obtenu des résultats d'unicité, en particulier pour le problème de Dirichlet pour l'opérateur de courbure moyenne et pour les équations de Monge-Ampère.