Fonction sous-harmonique

Soit ${\displaystyle \Omega }$ un ouvert de ${\displaystyle \mathbb {C} }$ . Une fonction ${\displaystyle u:\Omega \rightarrow \ ]-\infty ,+\infty [}$ est dite sous-harmonique dans ${\displaystyle \Omega }$ si elle vérifie les deux propriétés suivantes :

• ${\displaystyle u}$ est semi-continue supérieurement.
• ${\displaystyle u}$ possède la propriété de sous-moyenne locale : pour tout point ${\displaystyle z_{0}\in \Omega }$, on peut trouver ${\displaystyle r_{0}>0}$ tel que :${\displaystyle u(z_{0})\leq \int _{0}^{2\pi }u(z_{0}+re^{it}){\frac {dt}{2\pi }}}$pour tout ${\displaystyle r<r_{0}}$.

Parfois, on trouve une autre définition imposant que la fonction ${\displaystyle u}$ soit continue.

Outre l'analogie avec l'égalité de la moyenne, les fonctions sous-harmoniques vérifient un certain nombre de propriétés à comparer avec celles des fonctions harmoniques :

• le principe du maximum : sur tout partie ${\displaystyle \omega }$ relativement compacte dans ${\displaystyle \Omega }$, le maximum de ${\displaystyle u}$ sur l'adhérence de ${\displaystyle \omega }$ est atteint sur le bord ; et si ${\displaystyle u}$ admet un maximum global sur un domaine ${\displaystyle \Omega }$, elle est constante. En revanche, il n'y a pas de principe du minimum.
• les fonctions harmoniques sur ${\displaystyle \Omega }$ sont caractérisées parmi les fonctions continues comme celles vérifiant le principe du maximum sur tout disque relativement compact dans ${\displaystyle \Omega }$.
• Une propriété intéressante dans le cadre des espaces de Hardy est la suivante : Si ${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } est une fonction convexe croissante et si ${\displaystyle u}$ est une fonction sous-harmonique, alors ${\displaystyle \varphi \circ u}$ est sous-harmonique.

Le théorème central permettant d'utiliser ces fonctions en analyse harmonique est celui disant que si une famille ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ de fonctions sous-harmoniques dans un domaine ${\displaystyle \Omega }$ est stable

• par maximum (si ${\displaystyle u,v\in {\mathcal {F}}}$, alors ${\displaystyle \max(u,v)\in {\mathcal {F}}}$) et
• par modifiée de Poisson (si ${\displaystyle u\in {\mathcal {F}}}$ et si ${\displaystyle \Delta }$ est un disque relativement compact dans ${\displaystyle \Omega }$, de centre ${\displaystyle a}$, la modifiée de Poisson de ${\displaystyle u}$ dans ${\displaystyle \Delta }$ à savoir la fonction ${\displaystyle {\tilde {u}}}$ qui vérifie ${\displaystyle {\tilde {u}}=u}$ sur ${\displaystyle \Omega -\Delta }$ et sur ${\displaystyle \Delta }$ : ${\displaystyle {\tilde {u}}(a+z)=\mathrm {Re} \left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {e^{it}+z}{e^{it}-z}}u(a+e^{it})\mathrm {d} t\right)}$, est encore dans ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$),

alors la borne supérieure des éléments de ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ est soit constamment égale à ${\displaystyle +\infty }$, soit une fonction harmonique sur ${\displaystyle \Omega }$.

Pour démontrer le principe de Dirichlet, on se place ensuite sur un domaine ${\displaystyle \Omega }$ dont le bord est régulier, muni d'une fonction continue ${\displaystyle \phi }$ sur son bord, et on prend ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ la famille des fonctions sous-harmoniques sur ${\displaystyle \Omega }$ majorées par ${\displaystyle \phi }$ sur le bord de ${\displaystyle \Omega }$ : la borne supérieure de cette famille est alors une solution.