Équation de Monge-Ampère

Étant donné deux variables indépendantes x et y, et une variable dépendante u, la forme la plus simple de l'équation de Monge-Ampère est

${\displaystyle L[u]=A(u_{xx}u_{yy}-u_{xy}^{2})+Bu_{xx}+2Cu_{xy}+Du_{yy}+E=0,}$

où A, B, C, D, et E sont des fonctions qui dépendent des variables de premier ordre x, y, u, u_x, et u_y.

Soit  Ω un domaine fermé de R³, et on suppose que, sur Ω,  A, B, C, D, et E sont seulement des fonctions continues de x et y. Considérons le Problème de Dirichlet pour trouver u pour que

${\displaystyle L[u]=0,\quad {\text{sur}}\ \Omega }$

${\displaystyle u|_{\partial \Omega }=g.}$

Si ${\displaystyle BD-C^{2}-AE>0,}$

alors le problème de Dirichlet a au plus deux solutions[3].

Supposons maintenant que x est une variable à valeurs dans Rⁿ, et que f(x,u,Du) est une fonction positive. Alors l'équation de Monge-Ampère s'écrit :

${\displaystyle L[u]=\det D^{2}u-f(\mathbf {x} ,u,Du)=0\qquad \qquad (1)}$

où Du est le gradient de u et D²u la Hessienne de u. C'est une équation aux dérivées partielles elliptique (la linéarisation est elliptique), tant que l'on se borne aux solutions convexes.

L'opérateur L satisfait les conditions du Principe du maximum lorsque f est croissante par rapport à la variable u. Les solutions convexes du problème  de Dirichlet sont uniques si elles existent. En ce qui concerne l'existence, on suppose en général que le domaine D est lui-même convexe.

L'équation de Monge-Ampère intervient dans des problèmes de géométrie affine, de géométrie différentielle. Une des applications est le problème de Minkowski : Soit une fonction réelle K définie sur un domaine Ω de Rⁿ, ce problème consiste à déterminer une hypersurface de Rⁿ⁺¹ d'équation z = u(x) , x ∈ Ω telle qu'en chacun de ces points (x, u(x)) la courbure de Gauss soit K(x). L'équation différentielle qui en résulte est

${\displaystyle \det D^{2}u-K(\mathbf {x} )(1+|Du|^{2})^{(n+2)/2}=0.}$

• Alessio Figalli, The Monge-Ampère Equation and Its Applications, Zurich Lectures in Advanced Mathematics, European Mathematical Society, 2017
• Alessio FIGALLI, The Monge-Ampère Equation, Séminaire BOURBAKI, 70e année, 2017–2018, n° 1148, Juin 2018

• Complex Monge–Ampère equation