Pendule simple discret

Soit un pendule simple, c’est-à-dire un point matériel, M, de masse m, astreint à se déplacer sur un cercle vertical ${\displaystyle (C)}$, de centre ${\displaystyle O}$, de rayon ${\displaystyle L}$, dans un champ de pesanteur ${\displaystyle g}$ uniforme.

C'est donc un cas particulier de mouvement dans un puits de potentiel.

Fait remarquable (et peu connu) : on peut étudier ce problème de fonctions elliptiques à un niveau élémentaire de géométrie à condition de discrétiser le mouvement : il s'agit du pendule simple discret.

Pour apprivoiser le sujet, décrivons le cas intégrable : celui où le pendule parti du point le plus bas du cercle (en ${\displaystyle A}$) possède la vitesse ${\displaystyle V_{o}={\sqrt {2gL}}}$ et atteindra le point le plus haut du cercle (en ${\displaystyle B}$) au bout d'un temps infini.

On suppose la vitesse ${\displaystyle V_{0}}$ très légèrement plus grande. On se doute qu'avec une énergie supérieure de ${\displaystyle 10^{-37}}$ joules à ${\displaystyle 2mgL}$, le pendule va tournoyer, mais sans que vraiment on puisse distinguer expérimentalement avec le cas précédent. Donc le pendule présentera entre l'intervalle très long d'une période, un phase de vitesse rapide (avec une vitesse ${\displaystyle v(t)}$ quasi-égale à celle du soliton et dont l'intégrale sera ${\displaystyle 2\pi }$).

On la fait avec un pendule de Mach : la boule est lancée de B avec une vitesse minime. Une caméra filme le mouvement jusqu'au moment où l'on passe au régime de grandes oscillations à cause de la très faible (mais impossible à éliminer) déperdition d'énergie. On colle informatiquement les photos prises à des temps réguliers : on aura ainsi plusieurs lots. Il est facile de constater que les résultats précédents sont vrais, à l'erreur expérimentale près.

Soit toujours ${\displaystyle (C)}$ le cercle de tournoiement, de diamètre vertical ${\displaystyle A_{0}B}$. Soit ${\displaystyle H}$ le point de cote ${\displaystyle OH}$ telle que l'énergie soit ${\displaystyle mh\,OH}$ :

la vitesse en ${\displaystyle B}$ sera ${\displaystyle v(B)={\sqrt {2g\,OH}}\left(1-{\dfrac {L}{2\,OH}}\right)}$ ; celle en ${\displaystyle A}$, légèrement plus grande ${\displaystyle v(A)={\sqrt {2g\,OH}}\left(1+{\dfrac {L}{2\,OH}}\right)}$ ;

c’est-à-dire que cette fois le diagramme de vitesse sera extrêmement plat, avec une vitesse moyenne très légèrement inférieure à ${\displaystyle {\sqrt {2g\,OH}}}$ : comme on connaît ${\displaystyle v(s)}$, on sait résoudre ce cas par la méthode du diagramme horaire.

Rappelons la relation d'Euler dans un triangle quelconque de cercle circonscrit ${\displaystyle (C)}$, de centre ${\displaystyle O}$, de rayon ${\displaystyle R}$, et de cercle inscrit, de centre ${\displaystyle I}$, de rayon ${\displaystyle r}$ :

${\displaystyle R^{2}=(OI)^{2}+2Rr}$.

On va donner un cas facile à tracer d'un tournoiement assez rapide, correspondant à une épure calculée, selon la règle précédente :

Tracer le cercle ${\displaystyle (C)}$ de rayon 100 (cm). Ce sera la trajectoire.

Tracer le cercle ${\displaystyle (C_{2})}$ de rayon 32 de centre ${\displaystyle O_{2}}$ tel que ${\displaystyle OO_{2}=60}$.

La tangente horizontale haute correspond à deux points ${\displaystyle A_{2}}$ et ${\displaystyle A_{4}}$ (la corde ${\displaystyle A_{2}A_{4}={\sqrt {6144}}\simeq 78{,}4}$). La tangente basse correspond à deux points ${\displaystyle A_{1}}$ et ${\displaystyle A_{7}}$ (la corde ${\displaystyle A_{1}A_{8}\simeq 196,7}$).

Les points ${\displaystyle A\;A_{1}\;A_{2}\;B\;A_{4}\;A_{5}\;A}$ sont atteints à des dates entières. On peut tracer le cercle inscrit à cet hexagone (dit de Euler-Poncelet), soit ${\displaystyle (C_{1})}$ de centre ${\displaystyle O_{1}}$. Soient les points de tangence ${\displaystyle T_{0}\;T_{1}\;T_{2}}$ et leurs symétriques. On obtient les 4 vitesses : en ${\displaystyle A}$, le segment ${\displaystyle AT_{0}}$, en ${\displaystyle A_{1}}$, le segment ${\displaystyle A_{1}T_{1}}$, en ${\displaystyle A_{2}}$, le segment ${\displaystyle AT_{2}}$, et en ${\displaystyle B}$ le segment ${\displaystyle BT_{2}}$.

Soit ${\displaystyle H(M)}$ la projection de ${\displaystyle M}$ sur l'axe radical ${\displaystyle (D)}$ du faisceau de cercles à points limites (dits de Poncelet en France, dits de Landen ailleurs) : la vitesse en ${\displaystyle M}$ est proportionnelle à ${\displaystyle {\sqrt {HM}}}$ conformément à la règle de Baliani-Torricelli (le proto-théorème de l'énergie cinétique, cinquante ans avant Leibniz) : ici, ${\displaystyle OH_{0}=104{,}8{\text{ cm}}}$. La puissance de ${\displaystyle H_{0}}$ par rapport au faisceau est ${\displaystyle 983{,}04{\text{ cm}}^{2}}$, correspondant aux deux points de Poncelet ${\displaystyle L'}$ de cote ${\displaystyle 136{,}15{\text{ cm}}}$ et ${\displaystyle L}$ (point de Landen, ici), de cote : ${\displaystyle 73{,}45{\text{ cm}}}$. Si la construction est correcte, alors ${\displaystyle A_{1}A_{2}}$ et ${\displaystyle A_{4}A_{5}}$ s'intersectent en ${\displaystyle L'}$ ; ${\displaystyle A_{1}A_{4}}$ et ${\displaystyle A_{2}A_{5}}$ en ${\displaystyle L}$.

Au lieu de jouer avec un triangle, on joue avec un trapèze. La règle des quadrangles de Poncelet est plus compliquée que celle d'Euler pour les triangles ; le rayon ${\displaystyle r}$ du cercle inscrit de centre ${\displaystyle I}$, avec ${\displaystyle IO=d}$ est tel que : ${\displaystyle r{\sqrt {2R^{2}+2d^{2}}}=R^{2}-d^{2}}$.

Mais on peut « jouer simple », en acceptant la coupe diamantaire suivante :

Construire le cercle ${\displaystyle (C)}$, de centre ${\displaystyle O}$, de rayon 100, de diamètre horizontal ${\displaystyle A_{1}A_{7}}$, et le diamètre vertical ${\displaystyle AB}$, où l'on portera ${\displaystyle OM=127{,}2}$.

Le triangle ${\displaystyle MA_{1}A_{7}}$ recoupe ${\displaystyle (C)}$ en ${\displaystyle A_{3}}$ et ${\displaystyle A_{5}}$. Finir la construction du quadrangle orthocentrique en traçant le point ${\displaystyle L}$ (point de Landen).

Le milieu ${\displaystyle HO}$ de ${\displaystyle ML}$ définit l'axe radical horizontal des cercles à points limites ${\displaystyle M}$ et ${\displaystyle L}$.

Construire le cercle ${\displaystyle (C_{2})}$ inscrit dans le trapèze ${\displaystyle A_{1}A_{3}A_{5}A_{7}}$.

Tracer l'horizontale passant par ${\displaystyle L}$ qui coupe ${\displaystyle (C)}$ en ${\displaystyle A_{2}}$ et ${\displaystyle A_{6}}$ (on vérifiera ${\displaystyle A_{2}A_{6}=120}$). On constatera avec joie que ${\displaystyle AA_{2}BA_{6}}$ est circonscrit à ${\displaystyle (C_{2})}$.

On parachèvera par la construction du cercle ${\displaystyle (C1)}$ tangent en 8 points à l'octogone ${\displaystyle AA_{1}A_{2}A_{3}BA_{5}A_{6}A_{7}}$, ce qui permet la détermination des vitesses.

Les huit points obtenus sont atteints à dates entières.

Les constructions sont plus délicates ; ainsi en est-il de l'octogone de tangente horizontale basse : on obtient alors 16 points isochrones avec leurs vitesses.

La précision des logiciels met en évidence que la construction n'est qu'approchée : ${\displaystyle OM}$ n'a pas exactement la bonne cote.

La figure met toutefois en évidence la diminution drastique de vitesse du point ${\displaystyle B_{1}}$ au point ${\displaystyle B_{2}}$ car la corde est quasi verticale. A contrario, passage de ${\displaystyle B_{4}}$ à ${\displaystyle B_{5}}$ en passant par ${\displaystyle B}$ (alias ${\displaystyle A_{4}}$) à vitesse quasi uniforme : le mouvement est ralenti, mais la vitesse initiale en ${\displaystyle B}$ est grande devant la chute d'altitude : on comprend pourquoi le régime « logarithmique » du cas limite a du mal à s'installer.

Tracer un 2n-polygone de Poncelet dont deux côtés soient horizontaux tangents au cercle ${\displaystyle (C_{1})}$ "adéquat". Tracer alors la 2n-chaîne de Poncelet passant par ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ : les 2n points seront atteints à dates entières. La difficulté évidemment réside dans le mot "adéquat", qui cache la théorie de la duplication des fonctions elliptiques. Si ${\displaystyle \cos(nt)}$ s'exprime aisément à l'aide des polynômes de Tchebycheff à l'aide de ${\displaystyle \cos(t)}$, de même ${\displaystyle c_{n}(nt,k)}$ est algébrique en ${\displaystyle c_{n}(t)}$ et ${\displaystyle k^{2}}$, mais la relation est autrement difficile!

Néanmoins, on a compris : le point ${\displaystyle H_{0}}$ de l'axe radical des deux cercles ${\displaystyle (C)}$ et ${\displaystyle (C_{1})}$, de cote ${\displaystyle h}$ est tel que la vitesse ${\displaystyle V_{0}}$ en ${\displaystyle A}$ est ${\displaystyle {V_{0}}^{2}=2d.h}$

Depuis ${\displaystyle A}$, on trace la chaîne de Poncelet, qui représentent des points successifs du pendule simple à des temps égaux ${\displaystyle t_{0}}$ : en général,${\displaystyle t_{0}}$ n'est pas un rationnel fois la période ${\displaystyle T(h)}$, et la chaîne de Poncelet ne se referme jamais.

Mais par continuité, il existe aussi des cercles ${\displaystyle (C_{1})}$ pour lesquels la chaîne de Poncelet se ferme : par contre calculer la distance ${\displaystyle OO_{1}=d}$ et le rayon ${\displaystyle R_{1}}$ correspondant exige de faire le calcul via les fonctions elliptiques (cf. Appell et Lacour ou cf. Greenhill).

Le cas pendulaire est le cas où l'axe radical coupe ${\displaystyle (C)}$ en ${\displaystyle C}$ et ${\displaystyle C'}$ qui seront donc les points d'altitude maximale atteints par le point ${\displaystyle M}$ dans son oscillation pendulaire. Le point ${\displaystyle H_{0}}$ sera maintenant le milieu de la corde ${\displaystyle CC'}$ : ${\displaystyle AH_{0}=h}$.

Dans le cas pendulaire, traçons donc le cercle ${\displaystyle (B)}$ de centre ${\displaystyle B}$, de rayon ${\displaystyle BC}$. Si on joint ${\displaystyle AC}$, évidemment ${\displaystyle AC}$ est tangente à ${\displaystyle B}$, et l'arc ${\displaystyle AB}$ correspond à une durée ${\displaystyle K(h)}$, quart de période. La tangente horizontale ${\displaystyle SS'}$ au cercle ${\displaystyle (B)}$ correspond forcément aux points de date ${\displaystyle {\dfrac {K}{2}}}$, ${\displaystyle {\dfrac {3K}{2}}}$ pour ${\displaystyle S}$ et ${\displaystyle {\dfrac {5K}{2}}}$, ${\displaystyle {\dfrac {7K}{2}}}$ pour ${\displaystyle S'}$.

Puisque ${\displaystyle h\ll l}$, on peut approximer arcs et cordes :

${\displaystyle AC=l(\alpha )}$ et ${\displaystyle BC=lcos(\alpha )}$, puis ${\displaystyle AS=l(\alpha ){\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}$.

Ce qui correspond bien au huitième de période, pour une oscillation qui est donc quasi sinusoïdale.

Cette fois, on a au contraire ${\displaystyle l-h\ll l}$. Néanmoins la construction des points ${\displaystyle S}$ et ${\displaystyle S'}$ reste identique. Il est patent de reconnaître la différence des longueurs d'arcs huitième de période. Il est aussi facile de reconnaître la vitesse en ${\displaystyle S}$ par rapport à celle en ${\displaystyle A}$.

Par contre, pas de moyen simple d'évaluer la valeur de la période ${\displaystyle 4K(h)}$ ; et surtout pas moyen d'évaluer les hauteurs ${\displaystyle h}$ en oscillation (${\displaystyle h<l}$) et ${\displaystyle h'}$ en tournoiement (${\displaystyle h'>l}$) qui ont les mêmes périodes ; alors que la théorie mathématique donne la correspondance entre ces valeurs.

Bien sûr, le cas de l'oscillation d'amplitude 90° est auto-similaire à son complément. Le raisonnement de la transformation t-it joue à plein dans ce cas, et ${\displaystyle K=K'}$.

Le cas particulier le plus connu et utilisé en travaux pratiques est celui du pendule oscillant avec une élongation maximum 150°, et son "complément", l'oscillation de 30°. Alors ${\displaystyle K=K'{\sqrt {3}}}$, comme on pourra le vérifier grâce aux vitesses.

Un autre cas particulier est celui de l'élongation 120° et son « complément » de 60° : la figure discrète exacte est très jolie à faire.

Grand théorème de Poncelet