Discrétisation

L'évaluation numérique de Q_d est rendue plus délicate avec l'intégrale d'une exponentielle de matrice. On peut la calculer en deux temps, d'abord la construction de la matrice, puis le calcul de son exponentielle[2]

${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}-\mathbf {A} &\mathbf {Q} \\\mathbf {0} &\mathbf {A} ^{\top }\end{bmatrix}}T}$

${\displaystyle \mathbf {G} =\mathrm {e} ^{\mathbf {F} }={\begin{bmatrix}\dots &\mathbf {A} _{d}^{-1}\mathbf {Q} _{d}\\\mathbf {0} &\mathbf {A} _{d}^{\top }\end{bmatrix}}.}$

Le bruit discrétisé est ensuite évalué en multipliant la transposée du bloc en bas à droite de G avec celui en haut à droite :

${\displaystyle \mathbf {Q} _{d}=(\mathbf {A} _{d}^{\top })^{\top }(\mathbf {A} _{d}^{-1}\mathbf {Q} _{d})=\mathbf {A} _{d}(\mathbf {A} _{d}^{-1}\mathbf {Q} _{d}).}$

En partant du modèle continu

${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$

on sait que l'exponentielle de matrice est

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathrm {e} ^{\mathbf {A} t}=\mathbf {A} \mathrm {e} ^{\mathbf {A} t}=\mathrm {e} ^{\mathbf {A} t}\mathbf {A} }$

et en multipliant à gauche le modèle :

${\displaystyle \mathrm {e} ^{-\mathbf {A} t}\mathbf {\dot {x}} (t)=\mathrm {e} ^{-\mathbf {A} t}\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathrm {e} ^{-\mathbf {A} t}\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$

on reconnait

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathrm {e} ^{-\mathbf {A} t}\mathbf {x} (t))=\mathrm {e} ^{-\mathbf {A} t}\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$

L'intégration donne ainsi

${\displaystyle \mathrm {e} ^{-\mathbf {A} t}\mathbf {x} (t)-\mathrm {e} ^{0}\mathbf {x} (0)=\int _{0}^{t}\mathrm {e} ^{-\mathbf {A} \tau }\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )\,\mathrm {d} \tau }$

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathrm {e} ^{\mathbf {A} t}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{t}\mathrm {e} ^{\mathbf {A} (t-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )\,\mathrm {d} \tau }$

ce qui est une solution analytique du modèle continu.

On veut désormais discrétiser cette expression. On suppose u constante sur chaque pas de temps.

${\displaystyle \mathbf {x} [k]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {x} (kT)=\mathrm {e} ^{\mathbf {A} kT}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{kT}\mathrm {e} ^{\mathbf {A} (kT-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )\,\mathrm {d} \tau }$

${\displaystyle \mathbf {x} [k+1]=\mathrm {e} ^{\mathbf {A} (k+1)T}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{(k+1)T}\mathrm {e} ^{\mathbf {A} ((k+1)T-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )\,\mathrm {d} \tau =\mathrm {e} ^{\mathbf {A} T}\left[\mathrm {e} ^{\mathbf {A} kT}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{kT}\mathrm {e} ^{\mathbf {A} (kT-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )\,\mathrm {d} \tau \right]+\int _{kT}^{(k+1)T}\mathrm {e} ^{\mathbf {A} (kT+T-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )\,\mathrm {d} \tau }$

On reconnait l'expression entre crochets dans le premier terme comme x[k], et le second terme peut être simplifié en faisant la substitution v(τ) = kT + T – τ, ce qui permet d τ = – d v. On suppose aussi que u est constante dans l'intégrale, ce qui donne :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} [k+1]&=&\mathrm {e} ^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]-\left(\int _{v(kT)}^{v((k+1)T)}\mathrm {e} ^{\mathbf {A} v}\,\mathrm {d} v\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\\&=&\mathrm {e} ^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]-\left(\int _{T}^{0}\mathrm {e} ^{\mathbf {A} v}\,\mathrm {d} v\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\\&=&\mathrm {e} ^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]+\left(\int _{0}^{T}\mathrm {e} ^{\mathbf {A} v}\,\mathrm {d} v\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\\&=&\mathrm {e} ^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]+\mathbf {A} ^{-1}\left(\mathrm {e} ^{\mathbf {A} T}-\mathbf {I} \right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\end{aligned}}}$

qui est une solution exacte du problème de discrétisation.

Une discrétisation exacte peut parfois être impossible à cause d'une exponentielle de matrice lourde et des étapes d'intégrations. Il devient alors plus simple de calculer un modèle discret approché, basé sur de petits pas de temps de sorte qu'on ait ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathbf {A} T}\approx \mathbf {I} +\mathbf {A} T}$. La solution approchée devient alors :

${\displaystyle \mathbf {x} [k+1]\approx (\mathbf {I} +\mathbf {A} T)\mathbf {x} [k]+T\mathbf {B} \mathbf {u} [k].}$

D'autres approximations possibles sont ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathbf {A} T}\approx \left(\mathbf {I} -\mathbf {A} T\right)^{-1}}$ et ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathbf {A} T}\approx \left(\mathbf {I} +{\frac {1}{2}}\mathbf {A} T\right)\left(\mathbf {I} -{\frac {1}{2}}\mathbf {A} T\right)^{-1}}$. Chacun a des propriétés de stabilité différentes. On peut également mentionner la transformation bilinéaire, ou transformation de Tustin, qui préserve les propriétés de stabilité du système continu en temps.