Orthodromie

Soit M la longueur de l'orthodromie exprimée en milles marins entre ${\displaystyle A(\varphi _{A},\lambda _{A})}$ et ${\displaystyle B(\varphi _{B},\lambda _{B})}$, où ${\displaystyle \varphi }$ désigne la latitude et ${\displaystyle \lambda }$ la longitude. M est donnée par la formule suivante, la valeur de l'arc cosinus étant en degrés :

${\displaystyle M=60\arccos \,[\sin(\varphi _{A})\sin(\varphi _{B})+\cos(\varphi _{A})\cos(\varphi _{B})\cos(\lambda _{B}-\lambda _{A})]\,}$.

Repérage d'un point P de la sphère terrestre par sa latitude φ et sa longitude λ.

En effet, en prenant le rayon de la sphère pour unité, les coordonnées cartésiennes des points A et B en coordonnées sphériques[1] exprimées en fonction de la latitude et de la longitude sont :

${\displaystyle {\begin{cases}x_{A}=\cos(\lambda _{A})\cos(\varphi _{A})\\y_{A}=\sin(\lambda _{A})\cos(\varphi _{A})\\z_{A}=\sin(\varphi _{A})\end{cases}}}$

et

${\displaystyle {\begin{cases}x_{B}=\cos(\lambda _{B})\cos(\varphi _{B})\\y_{B}=\sin(\lambda _{B})\cos(\varphi _{B})\\z_{B}=\sin(\varphi _{B})\end{cases}}}$

de sorte que le cosinus de l'arc AB, égal au produit scalaire des deux vecteurs OA et OB, vaut :

${\displaystyle \left({\overrightarrow {OA}}{\bigg |}{\overrightarrow {OB}}\right)=\sin(\varphi _{A})\sin(\varphi _{B})+\cos(\varphi _{A})\cos(\varphi _{B})\cos(\lambda _{B}-\lambda _{A})}$.

Le coefficient 60 devant l'arc cosinus provient du fait que le mille marin (1 852 m) correspond à une minute d'arc sur un grand cercle de la surface terrestre, et donc 60 milles marins correspondent à un degré. Par conséquent, si on exprime arccos(AB) en degrés, on obtient la distance en milles marins en multipliant cet arc cosinus par 60.

Exemple : La distance orthodromique entre Paris (48° 51′ N, 2° 21′ E) et New York (40° 43′ N, 74° 00′ O) est d'environ 3 149 milles marins, soit 5 832 km, la Terre étant ici modélisée par une sphère de circonférence 40000 km.

On trouve également une expression de cette distance à l'aide de la fonction sinus verse (versin) ou de sa moitié (haversin):

${\displaystyle D=R\operatorname {versin} ^{-1}\left(\operatorname {versin} (\varphi _{B}-\varphi _{A})+\cos(\varphi _{A})\cos(\varphi _{B})\operatorname {versin} (\lambda _{B}-\lambda _{A})\right)}$

${\displaystyle D=R\operatorname {haversin} ^{-1}\left(\operatorname {haversin} (\varphi _{B}-\varphi _{A})+\cos(\varphi _{A})\cos(\varphi _{B})\operatorname {haversin} (\lambda _{B}-\lambda _{A})\right)}$

Sur une courte distance, on peut confondre orthodromie et loxodromie. La distinction devient importante lors des voyages inter-continentaux, et surtout aux latitudes élevées.

À titre d'exemple, un voyage entre Paris et New York a une longueur loxodromique approximative de 6 070 km, et le parcours orthodromique permet de gagner 230 km. Le gain est de 1 600 km entre Paris et Tokyo, pour une longueur orthodromique de 9 700 km environ.

Le parcours le long d'une orthodromie ne se faisant pas à cap constant, on découpe en général celle-ci en tronçons plus courts où l'on garde un cap constant, propre à chaque tronçon. Le cap du premier tronçon est l'angle R_o en degrés entre le Nord et la tangente en A à l'orthodromie, compté dans le sens des aiguilles d'une montre. Un cap de 0° correspond au Nord, 90° à l'Est, - 90° ou 270° à l'Ouest. L'angle R_o est donné par la formule suivante[2] :

${\displaystyle \operatorname {cotan} R_{o}={\frac {\cos(\varphi _{A})\tan(\varphi _{B})}{\sin(\lambda _{B}-\lambda _{A})}}-{\frac {\sin(\varphi _{A})}{\tan(\lambda _{B}-\lambda _{A})}}}$.

En effet, en prenant le rayon terrestre comme unité, le vecteur T tangent en A à l'orthodromie est égal à OB - (OB|OA)OA, où (OB|OA) désigne le produit scalaire des deux vecteurs. Ce vecteur appartient en effet au plan engendré par OA et OB, et est orthogonal à OA. Le vecteur unitaire u tangent en A au méridien et dirigé vers le Nord a pour composantes ${\displaystyle (-\cos(\lambda _{A})\sin(\varphi _{A}),-\sin(\lambda _{A})\sin(\varphi _{A}),\cos(\varphi _{A}))}$. Le vecteur unitaire v tangent en A au parallèle et dirigé vers l'Est a pour composantes ${\displaystyle (-\sin(\lambda _{A}),\cos(\lambda _{A}),0)}$. Ces deux vecteurs sont orthogonaux à OA. On a alors :

${\displaystyle \operatorname {cotan} R_{o}={\frac {(u,T)}{(v,T)}}={\frac {(u,OB)}{(v,OB)}}={\frac {\cos(\varphi _{A})\sin(\varphi _{B})-\sin(\varphi _{A})\cos(\varphi _{B})\cos(\lambda _{B}-\lambda _{A})}{\cos(\varphi _{B})\sin(\lambda _{B}-\lambda _{A})}}}$

ce qui donne la formule annoncée.

Une autre formule possible est la suivante :

${\displaystyle \sin(R_{o})={\frac {\cos(\varphi _{B})\sin(\lambda _{B}-\lambda _{A})}{\sin(AB)}}}$

où sin(AB) est le sinus de l'arc AB. On trouve directement cette relation en appliquant la formule des sinus en trigonométrie sphérique au triangle ABN, où N est le pôle Nord. Dans ce triangle, l'angle en A est R_o et est opposé à l'arc ${\displaystyle BN={\frac {\pi }{2}}-\varphi _{B}}$, et l'angle au pôle est ${\displaystyle \lambda _{B}-\lambda _{A}}$ opposé à l'arc AB. On a donc :

${\displaystyle {\frac {\sin(AB)}{\sin(\lambda _{B}-\lambda _{A})}}={\frac {\cos(\varphi _{B})}{\sin(R_{o})}}}$.

Exemple : Le premier cap à suivre pour aller de Paris (48° 51′ N, 2° 21′ E) à New York (40° 43′ N, 74° 00′ O) est de -68,21°, ou 291,79°, soit une direction ouest-nord-ouest, alors que New York se situe pourtant à une latitude inférieure à celle de Paris. L'orthodromie qui en est issue fait survoler la Cornouailles britannique et le Nord de la mer Celtique avant d'effleurer le Sud-Ouest de l'Irlande.

Les vertex sont les deux points du grand cercle passant par A et B de latitude extrême (maximale ou minimale). Les deux vertex sont diamétralement opposés et l'orthodromie y coupe le méridien à angle droit. Ils ne se situent pas nécessairement sur la trajectoire entre A et B.

Le cosinus de leur latitude est donné par :

${\displaystyle \cos(\varphi _{V})=\left|\sin(R_{o})\right|\cos(\varphi _{A})\,}$.

Pour le voir, on applique la formule des sinus en trigonométrie sphérique au triangle AVN, où V est le vertex et N le pôle Nord. Dans ce triangle, l'angle en V est droit, et opposé à l'arc ${\displaystyle AN={\frac {\pi }{2}}-\varphi _{A}}$. L'angle en A est R_o et est opposé à l'arc ${\displaystyle VN={\frac {\pi }{2}}-\varphi _{V}}$. On a donc :

${\displaystyle {\frac {\cos(\varphi _{A})}{\sin(\pi /2)}}={\frac {\cos(\varphi _{V})}{\left|\sin(R_{o})\right|}}}$.

Exemple : Entre Paris (48° 51′ N, 2° 21′ E) et New York (40° 43′ N, 74° 00′ O), le vertex se situe à une latitude de 52,3°, supérieure à la latitude des deux villes.

La différence de longitude entre le point de départ et le vertex est donnée par :

${\displaystyle \cos(\lambda _{V}-\lambda _{A})={\frac {\tan(\varphi _{A})}{\tan(\varphi _{V})}}}$

En effet, on applique la formule des cosinus en trigonométrie sphérique au triangle AVN, où V est le vertex et N le pôle Nord. Dans ce triangle, l'angle en V est droit, et opposé à l'arc ${\displaystyle AN={\frac {\pi }{2}}-\varphi _{A}}$. L'angle en A est R_o et est opposé à l'arc ${\displaystyle VN={\frac {\pi }{2}}-\varphi _{V}}$. L'angle en N est ${\displaystyle \lambda _{V}-\lambda _{A}}$ et opposé à l'arc AV. On a donc :

${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\varphi _{A}\right)=\cos(AV)\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\varphi _{V}\right)+\sin(AV)\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\varphi _{V}\right)\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)}$

et donc :

${\displaystyle \sin(\varphi _{A})=\cos(AV)\sin(\varphi _{V})}$

On a également :

${\displaystyle \cos(AV)=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\varphi _{A}\right)\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\varphi _{V}\right)+\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\varphi _{A}\right)\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\varphi _{V}\right)\cos(\lambda _{V}-\lambda _{A})}$

et donc :

${\displaystyle \cos(AV)=\sin(\varphi _{A})\sin(\varphi _{V})+\cos(\varphi _{A})\cos(\varphi _{V})\cos(\lambda _{V}-\lambda _{A})}$

On obtient la relation voulue en remplaçant ${\displaystyle \cos(AV)}$ dans ${\displaystyle \sin(\varphi _{A})=\cos(AV)\sin(\varphi _{V})}$ par la valeur donnée dans la deuxième relation.

Exemple : Entre Paris (48° 51′ N, 2° 21′ E) et New York (40° 43′ N, 74° 00′ O), l'écart de longitude entre Paris et le vertex est de 28°.

• Arc de méridien

• « Orthodromie », sur École nationale de la Marine marchande de Marseille