Loxodromie

La loxodromie constitue un arc sur la sphère que l'on suppose défini par une fonction de classe ${\displaystyle C^{1}}$ : ${\displaystyle G\mapsto \varphi (G)}$, et orienté dans le sens des longitudes croissantes. Soit la fonction ${\displaystyle f:G\mapsto M(G,\varphi (G))}$ qui, à la longitude ${\displaystyle G}$, associe le point courant de la loxodromie de longitude ${\displaystyle G}$ et de latitude ${\displaystyle \varphi (G)}$.

Un vecteur tangent à la loxodromie est alors ${\displaystyle f'(G)={\partial {\vec {M}} \over \partial G}(G,\varphi (G))+\varphi '(G)\cdot {\partial {\vec {M}} \over \partial \varphi }(G,\varphi (G))}$. Ce vecteur, qui dirige la tangente à l'arc, forme donc, par hypothèse, un angle ${\displaystyle R_{v}}$ avec tout vecteur (non nul) dirigeant le méridien au point considéré. Un vecteur dirigeant le méridien en ${\displaystyle M(G,\varphi (G))}$ est ${\displaystyle {\partial {\vec {M}} \over \partial \varphi }(G,\varphi (G))}$, tandis qu'un vecteur dirigeant le parallèle est ${\displaystyle {\partial {\vec {M}} \over \partial G}(G,\varphi (G))}$.

Dans la suite, pour alléger l'écriture, on ne précisera plus le point ${\displaystyle (G,\varphi (G))}$, auquel sont prises les fonctions et leurs dérivées partielles, et on notera ${\displaystyle \varphi }$ au lieu de ${\displaystyle \varphi (G)}$, et ${\displaystyle \varphi '}$ la dérivée de ${\displaystyle \varphi (G)}$ par rapport à ${\displaystyle G}$.

En effectuant le produit scalaire d'un vecteur directeur de la tangente à la loxodromie et d'un vecteur directeur du méridien, on obtient le produit des normes de ces vecteurs par le cosinus de l'angle qu'ils forment. Cet angle est précisément le cap vrai ${\displaystyle R_{v}}$ lorsque ${\displaystyle 0<R_{v}<\pi }$ :

${\displaystyle \left({\partial {\vec {M}} \over \partial \varphi }\;{\Bigg |}\;{\partial {\vec {M}} \over \partial G}+\varphi '{\partial {\vec {M}} \over \partial \varphi }\right)=\left\|{\partial {\vec {M}} \over \partial \varphi }\right\|\,\left\|{\partial {\vec {M}} \over \partial G}+\varphi '{\partial {\vec {M}} \over \partial \varphi }\right\|\cos(R_{v})}$, en notant ${\displaystyle ({\vec {u}}\;|\;{\vec {v}})}$ le produit scalaire ${\displaystyle {\vec {u}}}$ par ${\displaystyle {\vec {v}}}$.

Comme les parallèles et les méridiens sont perpendiculaires, les vecteurs ${\displaystyle {\partial {\vec {M}} \over \partial \varphi }}$ et ${\displaystyle {\partial {\vec {M}} \over \partial G}}$ sont orthogonaux, et l'expression précédente se simplifie en :

${\displaystyle \varphi '\left\|{\partial {\vec {M}} \over \partial \varphi }\right\|^{2}=\left\|{\partial {\vec {M}} \over \partial \varphi }\right\|\,\left\|{\partial {\vec {M}} \over \partial G}+\varphi '{\partial {\vec {M}} \over \partial \varphi }\right\|\cos(R_{v})}$

puis en :

${\displaystyle \varphi '\left\|{\partial {\vec {M}} \over \partial \varphi }\right\|=\left\|{\partial {\vec {M}} \over \partial G}+\varphi '{\partial {\vec {M}} \over \partial \varphi }\right\|\cos(R_{v})}$

En élevant au carré et en utilisant le théorème de Pythagore, on obtient :

${\displaystyle \varphi '^{2}\left\|{\partial {\vec {M}} \over \partial \varphi }\right\|^{2}=\left(\left\|{\partial {\vec {M}} \over \partial G}\right\|^{2}+\varphi '^{2}\left\|{\partial {\vec {M}} \over \partial \varphi }\right\|^{2}\right)\cos ^{2}(R_{v})}$

D'où, avec ${\displaystyle 1-\cos ^{2}(R_{v})=\sin ^{2}(R_{v})}$

${\displaystyle \sin ^{2}(R_{v})\varphi '^{2}\left\|{\partial {\vec {M}} \over \partial \varphi }\right\|^{2}=\left\|{\partial {\vec {M}} \over \partial G}\right\|^{2}\cos ^{2}(R_{v})\qquad \mathbf {(1)} }$.

On calcule les deux normes intervenant dans cette équation :

On sait, d'après le paramétrage sphérique rapporté aux coordonnées cartésiennes dans la base ${\displaystyle ({\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}})}$, ${\displaystyle {\vec {k}}}$ étant dirigé selon l'axe terrestre, que ${\displaystyle {\overrightarrow {OM}}(G,\varphi )=\sin(\varphi )\;{\vec {k}}+\cos(\varphi )\;{\vec {u}}_{G}}$, où ${\displaystyle {\vec {u}}_{G}}$ est le vecteur unitaire radial du plan équatorial défini par : ${\displaystyle {\vec {u}}_{G}=\cos(G)\;{\vec {i}}+\sin(G)\;{\vec {j}}}$. On définit ${\displaystyle {\vec {v}}_{G}}$ comme le vecteur dérivé par rapport à ${\displaystyle G}$ de ${\displaystyle {\vec {u}}_{G}}$ : ${\displaystyle {\vec {v}}_{G}={d{\vec {u}}_{G} \over dG}=-\sin(G)\;{\vec {i}}+\cos(G)\;{\vec {j}}}$. Alors ${\displaystyle {\partial {\vec {M}} \over \partial G}=\cos(\varphi )\;{\vec {v}}_{G}}$ et ${\displaystyle {\partial {\vec {M}} \over \partial \varphi }=\cos(\varphi )\;{\vec {k}}-\sin(\varphi ){\vec {u}}_{G}}$. Ainsi, ${\displaystyle \left\|{\partial {\vec {M}} \over \partial G}\right\|=\cos(\varphi )}$ et ${\displaystyle \left\|{\partial {\vec {M}} \over \partial \varphi }\right\|=1}$.

L'équation ${\displaystyle \mathbf {(1)} }$ se réduit à :

${\displaystyle \sin ^{2}(R_{v})\varphi '^{2}=\cos ^{2}(\varphi )\cos ^{2}(R_{v})}$

Si on suppose qu'on part de l'équateur (${\displaystyle \varphi =0}$) à la longitude ${\displaystyle G=0}$ et qu'on se dirige vers le Nord-Est, alors ${\displaystyle R_{v}\in \,]0,\pi /2[}$, et ${\displaystyle \varphi }$ est une fonction croissante de ${\displaystyle G}$ donc ${\displaystyle \varphi '>0}$ (dans les autres cas, on déduit l'arc par une symétrie centrale et/ou une rotation convenable(s), donc on ne perd pas de généralité), par suite :

${\displaystyle \sin(R_{v})\varphi '=\cos(\varphi )\cos(R_{v})}$

et ${\displaystyle {1 \over \cos(\varphi )}{d\varphi \over dG}={1 \over \tan(R_{v})}}$, équation différentielle non linéaire à variables séparables en ${\displaystyle \varphi (G)}$

En intégrant entre 0 et ${\displaystyle G}$ :

${\displaystyle \int _{0}^{\varphi (G)}{d\varphi \over \cos(\varphi )}={1 \over \tan(R_{v})}\int _{0}^{G}dG}$,

soit (cf. Primitives de fonctions trigonométriques)

${\displaystyle \ln \left(\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi (G)}{2}}\right)\right)={G \over \tan(R_{v})}}$

La longueur L parcourue vaut alors, par définition :

${\displaystyle L=\int _{0}^{+\infty }\|f'(G)\|\,dG}$

où ${\displaystyle f'(G)={\partial {\vec {M}} \over \partial G}(G,\varphi (G))+\varphi '(G){\partial {\vec {M}} \over \partial \varphi }(G,\varphi (G))}$ et ${\displaystyle \|f'(G)\|^{2}=\cos ^{2}(\varphi )+\varphi '^{2}=\cos ^{2}(\varphi )+{\cos ^{2}(\varphi ) \over \tan ^{2}(R_{v})}={\cos ^{2}(\varphi ) \over \sin ^{2}(R_{v})}}$ et, pour les mêmes raisons de signe, ${\displaystyle \|f'(G)\|={\cos(\varphi ) \over \sin(R_{v})}}$.

${\displaystyle L={1 \over \sin(R_{v})}\int _{0}^{+\infty }\cos(\varphi (G))\,dG}$

En changeant de variable, avec ${\displaystyle {dG \over d\varphi }={\tan(R_{v}) \over \cos(\varphi )}}$ avec ${\displaystyle \varphi }$ la latitude variant de 0 à ${\displaystyle \pi \over 2}$ quand ${\displaystyle G}$ varie de 0 à ${\displaystyle +\infty }$ :

On a ${\displaystyle L={\tan(R_{v}) \over \sin(R_{v})}\int _{0}^{\pi \over 2}\,d\varphi ={1 \over \cos(R_{v})}\int _{0}^{\pi \over 2}\,d\varphi }$

${\displaystyle L={\pi \over 2\,\cos(R_{v})}}$

Il est facile de vérifier le résultat en prenant ${\displaystyle R_{v}}$ nul. On voit que l'arc parcouru est le méridien et sa longueur est égale au quart de la circonférence.

Le même calcul mené entre deux points A et B situés sur la loxodromie donnera comme longueur :

${\displaystyle M={1 \over \cos(R_{v})}\int _{\varphi _{A}}^{\varphi _{B}}\,d\varphi ={\frac {\varphi _{B}-\varphi _{A}}{\cos(R_{v})}}}$