Nombre de Münchhausen

On appelle en anglais « perfect digit-to-digit invariant » (PDDI)[1], relativement à une base de numération donnée b, un entier naturel qui est égal à la somme de ses chiffres dans cette base b, chacun élevé à la puissance de ce même chiffre (en convenant ici que 0⁰ = 0).

${\displaystyle n=d_{k}b^{k}+d_{k-1}b^{k-1}+\ldots +d_{1}b+d_{0}=d_{k}^{d_{k}}+d_{k-1}^{d_{k-1}}+\dots +d_{1}^{d_{1}}+d_{0}^{d_{0}}~.}$

Un calcul élémentaire[2] prouve que n est majoré par 2b^b ; dans une base donnée, il n'existe donc qu'un nombre fini de perfect digit-to-digit invariants, dont on peut programmer le calcul.

Zéro et un sont des perfect digit-to-digit invariants dans toutes les bases.

En base dix, les deux seuls autres perfect digit-to-digit invariants[3] sont 3 435 et 438 579 088 :

• ${\displaystyle 3^{3}+4^{4}+3^{3}+5^{5}=27+256+27+3125=3435}$
• ${\displaystyle 4^{4}+3^{3}+8^{8}+5^{5}+7^{7}+9^{9}+0^{0}+8^{8}+8^{8}=256+27+16777216+3125+823543+387420489+0+16777216+16777216=438579088}$

Dans une prépublication de style récréatif[4], Daan van Berkel[2] a appelé « nombres de Münchhausen » (Munchausen numbers[5]) des nombres définis comme les perfect digit-to-digit invariants[6], mais avec la convention 0⁰ = 1. Avec cette convention, les deux seuls nombres de Münchhausen en base 10 sont 1 et 3435.

La dénomination « nombres de Münchhausen » a été choisie en référence au baron du même nom, leur propriété étant une variante de celle des nombres narcissiques, à l'instar du caractère du baron[2].

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