Moyenne mobile

C'est une moyenne qui au lieu d'être calculée sur l'ensemble des n valeurs d'un échantillonnage, est calculée tour à tour sur chaque sous-ensemble de N valeurs consécutives (N ≤ n). Le sous-ensemble utilisé pour calculer chaque moyenne, parfois appelé « fenêtre », « glisse » sur l'ensemble des données.

Par exemple, le tableau suivant montre les moyennes mobiles simples sur 3 valeurs, pour une série de 9 mesures.

Autre exemple : dans le cas particulier du domaine de la pollution atmosphérique, est utilisée une « moyenne glissante sur 8 heures » de la concentration d'un polluant (c'est en l'occurrence le cas de l'ozone, en objectif de qualité pour la protection de la santé humaine) ; cette moyenne pourra être calculée de 0h00 à 8h00, de 1h00 à 9h00, de 2h00 à 10h00, etc. On recherchera, sur une journée, la valeur maximale de la moyenne glissante, qui devra être inférieure à une concentration donnée. L'intérêt d'une moyenne glissante est de lisser les éventuels écarts accidentels.

Le calcul successif de moyennes mobiles pour une même suite de nombres exige de conserver toutes les valeurs utilisées par les moyennes précédentes, afin de remplacer le terme le plus ancien par le plus récent.

Une formule permettant de calculer une moyenne mobile simple est

${\displaystyle {\bar {x}}_{n}={\frac {1}{N}}\ \sum _{k=0}^{N-1}\;{x_{n-k}}\ {\text{, ou bien }}\ {\bar {x}}_{n}={\bar {x}}_{n-1}+{\frac {x_{n}-x_{n-N}}{N}}}$

L'expression de gauche, ci-dessus, n'est autre qu'un produit de convolution discret entre un signal ${\displaystyle x_{n}}$ et une fonction porte de hauteur ${\displaystyle {\frac {1}{N}}}$. La transformée de Fourier de cette fonction est un sinus cardinal. Par conséquent, cette moyenne possède une réponse en fréquence potentiellement dérangeante, certaines variations de ${\displaystyle x_{n}}$ étant reportées négativement dans ${\displaystyle {\bar {x}}_{n}}$ et d'autres positivement. Cela est interprétable comme un déphasage passant brusquement d'un extrême à l'autre en fonction de la vitesse de variation des données.

Poids utilisés pour les 21 plus récentes valeurs composant une moyenne mobile exponentielle de décroissance ${\displaystyle \alpha =0,125}$ (N=15).

Une moyenne mobile exponentielle utilise une pondération des termes qui décroît exponentiellement. Le poids de chaque valeur participant à la moyenne (souvent désignée par le terme observation en statistiques) est d'un facteur plus grand que la valeur qui le précède dans la série, ce qui donne plus d'importance aux observations les plus récentes, sans toutefois jamais supprimer complètement l'effet des valeurs les plus anciennes.

Une constante de lissage contrôle le degré de décroissance des poids applicables à chaque observation participant à la moyenne. Cette constante, α, est un nombre compris entre 0 et 1 ; elle peut être exprimée :

• par sa valeur numérique : α = 0,1 ;
• en pourcentage : α = 10 % équivaut à α = 0,1 ;
• en nombre de périodes : N = 19, où ${\textstyle \alpha =\textstyle {\frac {2}{N+1}}}$ approximativement, équivaut également à α = 0,1.

Contrairement aux autres types de moyennes glissantes, le nombre de périodes N ne représente pas le nombre de valeurs participant à la moyenne ; il ne sert qu'à spécifier la constante de lissage α. En effet, chaque nouveau calcul de la moyenne mobile exponentielle ajoute l'effet de la plus récente observation sans en abandonner une plus ancienne. Le poids total des N plus récentes observations utilisées par une moyenne mobile exponentielle constitue environ 86 % du poids total avec la formule ${\textstyle \alpha =\textstyle {\frac {2}{N+1}}}$ (la précision de cette formule augmente avec N). Pour que N périodes pèsent précisément 86 % dans la moyenne (surtout requis lorsque N est petit), la formule exacte est α = 1 - (1 - 0,86)^1/N.

Dans sa forme la plus simple, la moyenne pondérée exponentielle s'exprime en fonction de cette même moyenne calculée lors de la précédente période. Il en existe deux formulations:

Roberts[2] (1959) : ${\displaystyle {\bar {x}}_{t}=\alpha x_{t}+(1-\alpha ){\bar {x}}_{t-1}}$ —— Hunter[3] (1986) : ${\displaystyle {\bar {x}}_{t}=\alpha \;x_{t-1}+(1-\alpha )\;{\bar {x}}_{t-1}}$

On peut écrire différemment ces expressions pour souligner que la moyenne mobile exponentielle tend à conserver sa valeur précédente, n'en différant que par une fraction de sa différence avec la plus récente observation:

Roberts (1959) : ${\displaystyle {\bar {x}}_{t}={\bar {x}}_{t-1}+\alpha (x_{t}-{\bar {x}}_{t-1})}$ —— Hunter (1986) : ${\displaystyle {\bar {x}}_{t}={\bar {x}}_{t-1}+\alpha (x_{t-1}-{\bar {x}}_{t-1})}$

Une moyenne mobile exponentielle doit être initialisée; le plus souvent, on impose ${\displaystyle {\bar {x}}_{1}=x_{1}}$ mais on peut également, par exemple, lui assigner une moyenne simple des 4 ou 5 premières observations. L'effet de l'initialisation de ${\displaystyle {\bar {x}}_{1}}$ sur les moyennes mobiles ultérieures dépend de α ; de plus grandes valeurs de la constante de lissage tendent à atténuer plus rapidement l'impact des observations plus anciennes. En effet, l'expansion de la forme de Roberts en y substituant récursivement les moyennes mobiles exponentielles des calculs précédents donne une somme infinie, mais puisque l'expression ${\textstyle 1-\alpha }$ est inférieure à 1, les termes anciens sont de plus en plus petits et peuvent éventuellement être ignorés.

${\displaystyle {\bar {x}}_{t}=\alpha \left(x_{t}+(1-\alpha )x_{t-1}+(1-\alpha )^{2}x_{t-2}+(1-\alpha )^{3}x_{t-3}+\cdots \right)}$

${\displaystyle {\bar {x}}_{t}=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\alpha (1-\alpha )^{n}x_{t-n}}$

En posant β = (1 - α), β ∈ [0, 1] et en remarquant que ${\textstyle {\frac {1}{\alpha }}={\frac {1}{1-\beta }}=1+\beta +\beta ^{2}+\ldots +\beta ^{n}+\ldots }$, on a :

${\displaystyle {\bar {x}}_{t}=\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{t}+\beta \ x_{t-1}+\beta ^{2}\ x_{t-2}\ +\ldots +\ \beta ^{n}\ x_{t-n}}{1+\beta +\beta ^{2}+\ldots +\beta ^{n}}}}$

L'expression ci-dessus est pratique lorsque l'on veut trouver n coefficients d'un FIR approximant un filtre passe bas du premier ordre de constante de temps ${\textstyle \tau ={\frac {\Delta t}{-ln(\beta )}}}$ où ${\displaystyle \Delta t}$ est la période d'échantillonnage.

L'expression ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\alpha (1-\alpha )^{n}x_{t-n}}$, ci-avant, n'est autre qu'un produit de convolution discret entre un signal ${\textstyle x_{t}}$ et un filtre passe-bas du premier ordre. En effet, en écrivant ${\textstyle \alpha (1-\alpha )^{n}}$ sous la forme ${\textstyle {\frac {\alpha }{\ln {\frac {1}{1-\alpha }}}}\ln {\frac {1}{1-\alpha }}e^{-n\ln {\frac {1}{1-\alpha }}}}$, on identifie la réponse impulsionnelle d'un filtre passe bas du premier ordre d'amplification ${\textstyle -{\frac {\alpha }{\ln(1-\alpha )}}}$ et dont la pulsation de coupure est ${\textstyle -\ln(1-\alpha )}$, exprimée en radians/échantillon. ${\textstyle \ln(1-\alpha )}$ est négatif, les paramètres du filtre sont donc bien positifs.

Pour considérer des formes plus adaptées au contexte, notons que la fréquence de coupure est de ${\textstyle -{\frac {\ln(1-\alpha )}{2\pi }}}$ cycles/échantillon, soit une période de coupure de ${\textstyle -{\frac {2\pi }{\ln(1-\alpha )}}}$ échantillons. Concrètement, lorsque ${\textstyle x_{t}}$ varie assez rapidement, lorsque ${\textstyle x_{t}}$ fluctue en moins de ${\textstyle -{\frac {2\pi }{\ln(1-\alpha )}}}$ échantillons, la fluctuation se retrouve dans ${\textstyle {\bar {x}}_{t}}$ mais est d'autant plus affaiblie qu'elle est rapide. Plus précisément, l'atténuation est de 20 dB/décade.

Par conséquent, la moyenne mobile exponentielle souffre du principal défaut des filtres passe bas classiques, à savoir un déphasage des données. Cela se traduit par un retard entre l'évolution de ${\textstyle {\bar {x}}_{t}}$ et l'évolution des données ${\textstyle x_{t}}$, et ce retard dépend de la rapidité de l'évolution.

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• (en) Café Math : Moving Averages : Article de blog sur le calcul des moyennes mobiles