Miroir de jade des quatre inconnues

Cette section traite du Tian yuan shu, soit des problèmes a une inconnue.

Question : Étant donné que le produit de huangfan et zhi ji est égal à 24 pas, et que la somme de la verticale et de l'hypoténuse est égale à 9 pas, quelle est la valeur de la base ?

Réponse : 3 pas

Configurez le tian unitaire comme étant la base(c'est-à-dire laissez la base être la quantité inconnue x)

Puisque le produit de huangfang et de zhi ji = 24

dans lequel

huangfan est défini comme suit：${\displaystyle (a+b-c)}$[6]

zhi ji：${\displaystyle ab}$

c'est pourquoi ${\displaystyle (a+b-c)ab=24}$

De plus, la somme de la verticale et de l'hypoténuse est :

${\displaystyle b+c=9}$

Configurez l'inconnu tian unitaire comme étant la verticale (c'est-à-dire laissez la verticale être la quantité inconnue x)

${\displaystyle x=a}$

On obtient l'équation suivante

（${\displaystyle x^{5}-9x^{4}-81x^{3}+729x^{2}=3888}$）

太

Résolvez-la et obtenez x=3

太 (Tian) Unitaire

équation： ${\displaystyle -2y^{2}-xy^{2}+2xy+2x^{2}y+x^{3}=0}$;

à partir de la

太 (Tian) Unitaire

équation： ${\displaystyle 2y^{2}-xy^{2}+2xy+x^{3}=0}$;

nous obtenons：

太 (Tian) Unitaire

${\displaystyle 8x+4x^{2}=0}$

et

太 (Tian) Unitaire

${\displaystyle 2x^{2}+x^{3}=0}$

En utilisant une méthode d'élimination, on obtient une équation quadratique :

${\displaystyle x^{2}-2x-8=0}$

solution: ${\displaystyle x=4}$。

Méthode de résolution d'un problème a trois inconnues

Zhu Shijie explique de manière détaillée sa méthode d'élimination et son exemple a été cité à maintes reprises dans les revues et la littérature scientifique[7] - [8] - [9].

Configurez trois équations comme suit :

太

${\displaystyle -y-z-y^{2}x-x+xyz=0}$ .... I

${\displaystyle -y-z+x-x^{2}+xz=0}$.....II

太

${\displaystyle y^{2}-z^{2}+x^{2}=0;}$....III

Après élimination de l'inconnu entre II et III par manipulation de l'échange de variables, nous obtenons :

太 (Tian) Unitaire

${\displaystyle -x-2x^{2}+y+y^{2}+xy-xy^{2}+x^{2}y}$ ...IV

et

太 (Tian) Unitaire

${\displaystyle -2x-2x^{2}+2y-2y^{2}+y^{3}+4xy-2xy^{2}+xy^{2}}$.... V

Après élimination de l'inconnu entre IV et V, on obtient une équation du 3^e degré :

${\displaystyle x^{4}-6x^{3}+4x^{2}+6x-5=0}$

Résolvez cette équation du 3^e degrés pour obtenir : ${\displaystyle x=5}$

Changer les variables

On obtient que l'hypoténuse =5 pas

Cette section traite des équations simultanées a quatre inconnues

équations a quatre inconnues

${\displaystyle {\begin{cases}-2y+x+z=0\\-y^{2}x+4y+2x-x^{2}+4z+xz=0\\x^{2}+y^{2}-z^{2}=0\\2y-w+2x=0\end{cases}}}$

En procédant à une élimination successive des inconnues on obtient :

${\displaystyle 4x^{2}-7x-686=0}$

Résolvez ce problème et obtenez 14 pas.

Il y a 18 problèmes dans cette section.

Problème 18

Obtenir une équation polynomiale de degrés 10 :

${\displaystyle 16x^{10}-64x^{9}+160x^{8}-384x^{7}+512x^{6}-544x^{5}+456x^{4}+126x^{3}+3x^{2}-4x-177162=0}$

La racine de ceci est x = 3， multiplié par 4, pour obtenir 12. C'est la réponse finale.

Il y a 18 problèmes dans cette section

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Il y a 7 problèmes dans cette section

Il y a 13 problèmes dans cette section

Il y a 8 problèmes dans cette section

Problème 1

« Question : Il y a une ville rectangulaire de dimension inconnue qui a une porte de chaque côté. Il y a une pagode située à 240 pas de la porte sud. Un homme qui marche à 180 pas de la porte ouest peut voir la pagode, il marche ensuite vers le coin sud-est pendant 240 pas et atteint la pagode ; quelle est la longueur et la largeur de la ville rectangulaire ?

Réponse : 120 pas en longueur et en largeur un li »

Avec le tian unitaire faisant la moitié de la longueur, on obtient une équation de quatrième degré

${\displaystyle x^{4}+480x^{3}-270000x^{2}+15552000x+1866240000=0}$[10]

le résoudre et obtenir x=240 pas，donc longueur =2x= 480 pas=1 li et 120pas。

Simultanément, laissez le tian unitaire (x) être égal à la moitié de la largeur

nous obtenons l'équation：

${\displaystyle x^{4}+360x^{3}-270000x^{2}+20736000x+1866240000=0}$[11]

Résolvez-la pour obtenir x=180 pas，longueur =360 pas =1 li。

Problème 7 : Identique à La profondeur d'un ravin (à l'aide de barres transversales) du Haidao Suanjing (en).

Problème 8 : Identique à La profondeur d'un bassin transparent du Haidao Suanjing (en)

Le problème No 5 est la première formule d'interpolation du 4^e ordre.

hommes convoqués :${\displaystyle na+{\tfrac {1}{2!}}n(n-1)b+{\tfrac {1}{3!}}n(n-1)(n-2)c+{\tfrac {1}{4!}}n(n-1)(n-2)(n-3)d}$[12]

Dans lequel

• a= différence de 1^er ordre
• b=différence de 2^e ordre
• c=différence de 3^e ordre
• d=différence de 4^e ordre

Cette section contient 20 problèmes concernant des piles triangulaires ou rectangulaires

Problème 1

Trouver la somme de la pile triangulaire

${\displaystyle 1+3+6+10+...+{\frac {1}{2}}n(n+1)}$

et la valeur de la pile de fruits est :

${\displaystyle v=2+9+24+50+90+147+224+\cdots +{\frac {1}{2}}n(n+1)^{2}}$

Zhu Shijie utilise le Tian yuan shu (en), pour résoudre ce problème en laissant x=n

Il obtient ainsi cette formule

${\displaystyle v={\frac {1}{2\cdot 3\cdot 4}}(3x+5)x(x+1)(x+2)}$

À partir des conditions données ${\displaystyle v=1320}$, d'où

${\displaystyle 3x^{4}+14x^{3}+21x^{2}+10x-31680=0}$[13]

Résolvez-la pour obtenir ${\displaystyle x=n=9}$。

Par conséquent,

${\displaystyle v=2+9+24+50+90+147+224+324+450=1320}$。

Six problèmes à quatre inconnues

Question 2

Donne un ensemble d'équations à quatre inconnues[14] :

${\displaystyle {\begin{cases}-3y^{2}+8y-8x+8z=0\\4y^{2}-8xy+3x^{2}-8yz+6xz+3z^{2}=0\\y^{2}+x^{2}-z^{2}=0\\2y+4x+2z-w=0\end{cases}}}$