Mesure de Plancherel

La mesure de Plancherel apparaît naturellement dans des problèmes combinatoires et probabilistes, notamment dans l'étude de la plus longue sous-suite croissante d'une permutation aléatoire ${\displaystyle \sigma }$. En raison de son importance dans ce domaine, le terme mesure de Plancherel se réfère presque exclusivement au cas du groupe symétrique ${\displaystyle S_{n}}$.

Soit ${\displaystyle L(\sigma )}$ la longueur d'une plus longue sous-suite croissante d'une permutation aléatoire ${\displaystyle \sigma }$ dans ${\displaystyle S_{n}}$ choisie selon la distribution uniforme. Soit ${\displaystyle \lambda }$ la forme des tableaux de Young de ${\displaystyle \sigma }$ par la correspondance Robinson-Schensted. Alors on a l'identité suivante :

${\displaystyle L(\sigma )=\lambda _{1}}$,

où ${\displaystyle \lambda _{1}}$ est la longueur de la première ligne de ${\displaystyle \lambda }$. De plus, le fait que la correspondance Robinson-Schensted est bijective, implique que la distribution de ${\displaystyle \lambda }$ est exactement la mesure de Plancherel sur ${\displaystyle S_{n}}$. Ainsi, pour comprendre le comportement de ${\displaystyle L(\sigma )}$, il est naturel de considérer ${\displaystyle \lambda _{1}}$ pour ${\displaystyle \lambda }$ choisi selon la mesure Plancherel en ${\displaystyle S_{n}}$, puisque ces deux variables aléatoires ont la même distribution de probabilité[3].

La mesure de Plancherel est définie sur ${\displaystyle S_{n}}$ pour tout entier ${\displaystyle n}$. Dans diverses études sur le comportement asymptotique de ${\displaystyle L(\sigma )}$ quand ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$, il s'est avéré utile[4] d'étendre la mesure à une mesure, dite mesure « poissonisée » de Plancherel, sur l'ensemble ${\displaystyle {\mathcal {P}}^{*}}$ de toutes les partitions entières. Pour tout ${\displaystyle \theta >0}$, la mesure poissonisée de Plancherel de paramètre ${\displaystyle \theta }$ sur l'ensemble ${\displaystyle {\mathcal {P}}^{*}}$ est définie par

${\displaystyle \mu _{\theta }(\lambda )=e^{-\theta }{\frac {\theta ^{|\lambda |}(f^{\lambda })^{2}}{(|\lambda |!)^{2}}},}$

pour tout ${\displaystyle \lambda \in {\mathcal {P}}^{*}}$[2].

Le processus de croissance de Plancherel est une suite aléatoire de tableaux de Young ${\displaystyle \lambda ^{(1)}=(1),\lambda ^{(2)},\lambda ^{(3)},\ldots ,}$ tels que chaque ${\displaystyle \lambda ^{(n)}}$ est un diagramme de Young aléatoire d'ordre ${\displaystyle n}$ dont la distribution de probabilité est la n-ième mesure de Plancherel, et chaque ${\displaystyle \lambda ^{(n)}}$ est obtenu depuis son prédécesseur ${\displaystyle \lambda ^{(n-1)}}$ par l'ajout d'une seule case, selon la probabilité de transition

${\displaystyle p(\nu ,\lambda )=\mathbb {P} (\lambda ^{(n)}=\lambda ~|~\lambda ^{(n-1)}=\nu )={\frac {f^{\lambda }}{nf^{\nu }}},}$

pour des diagrammes de Young ${\displaystyle \nu }$ de taille ${\displaystyle n-1}$ et ${\displaystyle \lambda }$ de taille ${\displaystyle n}$[5].

Le processus de croissance de Plancherel peut ainsi être considéré comme un couplage naturel des différentes mesures de Plancherel de tous les groupes symétriques, ou aussi comme une marche aléatoire sur le treillis de Young. Il n'est pas difficile de montrer que la distribution de probabilité de ${\displaystyle \lambda ^{(n)}}$ dans cette marche coïncide avec la mesure de Plancherel sur ${\displaystyle S_{n}}$[6].