Méthode de Wiener-Hopf

Le problème de Milne concerne la résolution de l'équation de Boltzmann pour le transfert radiatif dans un milieu unidimensionnel semi-infini homogène à diffusion isotrope, décrit par l'équation donnant la luminance  ${\displaystyle \phi (\tau ,\mu )}$

${\displaystyle \mu {\frac {\mathrm {d} \phi (\tau ,\mu )}{\mathrm {d} \tau }}+\phi (\tau ,\mu )={\frac {1}{2}}\underbrace {\int _{-1}^{1}\phi (\tau ,\mu )\mathrm {d} \mu } _{S(\tau )}\,,\qquad 0\leq \tau <\infty \,,\qquad -1<\mu \leq 1}$

avec la condition en τ = 0 (valeur entrante nulle)

${\displaystyle \phi (0,\mu )=0\,,\quad \mu >0}$

La solution formelle de cette équation est[4]

${\displaystyle \phi (\tau ,\mu )=\left\{{\begin{array}{lll}~~{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\tau }S(t)e^{-{\frac {\tau -t}{\mu }}}{\frac {{\text{d}}t}{\mu }}&~~0<\mu \leq 1&\\[0.6em]-{\frac {1}{2}}\int _{\tau }^{\infty }S(t)e^{\frac {t-\tau }{\mu }}{\frac {{\text{d}}t}{\mu }}&-1<\mu <0&\qquad [1]\\[0.6em]~~S(\tau )&\quad \mu =0&\end{array}}\right.}$

En intégrant sur μ on obtient l'équation intégrale de Milne

${\displaystyle S(\tau )=\int _{0}^{\infty }S(t)E(|\tau -t|)\mathrm {d} t}$

E (.) est l'exponentielle intégrale. Il n'existe pas de solution à cette équation.

En multipliant l'équation de Boltzmann par 1 et μ et en intégrant sur μ on obtient les moments de la luminance : l'exitance (flux) M et la pression de rayonnement P

${\displaystyle M(\tau )=\int _{-1}^{1}\mu \phi (\tau ,\mu )\mathrm {d} \mu =C^{ste}=-1}$

${\displaystyle P(\tau )=\int _{-1}^{1}\mu ^{2}\phi (\tau ,\mu )\mathrm {d} \mu =\tau +P(0)\,,\qquad P(0)=\int _{-1}^{0}\mu ^{2}\phi (0,\mu )\mathrm {d} \mu }$

On introduit les transformées de Laplace[5] - [6]

${\displaystyle {\begin{array}{lclll}\Phi (s,\mu )&=&\int _{0}^{\infty }\phi (\tau ,\mu )e^{-s\tau }\mathrm {d} \tau \quad &\Re (s)>0&\\[0.6em]{\mathcal {S}}(s)&=&\int _{0}^{\infty }S(\tau )e^{-s\tau }\mathrm {d} \tau &&[2]\end{array}}}$

On obtient par cette voie une nouvelle équation intégrale

${\displaystyle {\mathcal {S}}(s)\left(1-s^{-1}{\rm {artanh~}}s\right)=\int _{-1}^{0}{\frac {S\left(-\mu ^{-1}\right)}{1+s\mu }}\mathrm {d} \mu \equiv g(s)}$

En développant cette expression en série de Laurent au voisinage de s = 0 et en utilisant les expressions des moments de la luminance donnés plus haut on obtient

${\displaystyle {\mathcal {S}}(s)=3s^{-2}+3P(0)s^{-1}+...}$

d'où

${\displaystyle S(\tau )\approx 3(\tau +P(0))\,,\quad \tau \to \infty }$

On cherche à réécrire l'équation ci-dessus de telle manière que les termes à droite et à gauche soient analytiques et aient un recouvrement sur l'axe réel. Or  ${\displaystyle 1-s^{-1}{\rm {artanh~}}s}$  est analytique dans la bande  ${\displaystyle -1<\Re (s)<1}$ .

On souhaite trouver une fonction f (s) qui n'ait pas de zéro dans le domaine précédent et qui vérifie  ${\displaystyle \lim \limits _{|s|\to \infty }f(s)=1}$ , par exemple

${\displaystyle f(s)=s^{-2}(s^{2}-1)(1-s^{-1}{\rm {artanh~}}s)}$

L'équation intégrale est réécrite

${\displaystyle {\frac {s^{2}}{s^{2}-1}}f(s){\mathcal {S}}(s)=g(s)}$

${\displaystyle \log f(s)}$  peut être représenté par la formule intégrale de Cauchy

${\displaystyle \log f(s)=\underbrace {{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty +a}^{i\infty +a}{\frac {\log f(t)}{t-s}}\mathrm {d} t} _{\log f_{+}(s)}-\underbrace {{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty -a}^{i\infty -a}{\frac {\log f(t)}{t-s}}\mathrm {d} t} _{\log f_{-}(s)}}$

• f₊ est une fonction régulière non nulle dans le demi-plan  ${\displaystyle \Re (s)<a}$ ,
• f_- est une fonction régulière non nulle dans le demi-plan  ${\displaystyle \Re (s)>-a}$ .

On peut alors écrire l'équation intégrale sous la forme

${\displaystyle {\frac {s^{2}{\mathcal {S}}(s)}{(s+1)f_{-}(s)}}={\frac {(s-1)g(s)}{f_{+}(s)}}}$

Le premier membre est régulier pour  ${\displaystyle \Re (s)>0}$  et le second pour  ${\displaystyle \Re (s)<a}$ . Chacune des expressions constitue la continuation de l'autre.

De plus chaque membre est borné puisque  ${\displaystyle {\mathcal {S}}(s)}$  et  ${\displaystyle g(s)}$  le sont. En suivant le théorème de Liouville chacun d'eux est égal à une constante C, en particulier

${\displaystyle {\mathcal {S}}(s)=C\,{\frac {s+1}{s^{2}}}f_{-}(s)=Cf_{-}(0)s^{-2}+C[f_{-}(0)+f_{-}'(0)]s^{-1}+...}$

En comparant à l'expression donnée plus haut on extrait la constante

${\displaystyle C={\frac {3}{f_{-}(0)}}}$

Cette quantité est une intégrale dans le plan complexe que l'on peut calculer[5] et dont on peut donner la valeur avec les développements déjà utilisés

${\displaystyle C=3{\sqrt {f(0)}}={\sqrt {3}}}$

Des expressions ci-dessus on tire

${\displaystyle P(0)=1+{\frac {f_{-}'(0)}{f_{-}(0)}}=1+{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty -a}^{i\infty -a}{\frac {f'(t)}{tf(t)}}\mathrm {d} t}$

Moyennant un certain nombre de manipulations[5] on obtient une quantité appelée constante de Hopf[7]

${\displaystyle P(0)={\frac {6}{\pi ^{2}}}+{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\left({\frac {3}{t^{2}}}-{\frac {1}{1-t\cot t}}\right)\mathrm {d} t=0.71044608959876...}$

De la même façon on calcule S (0)

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}S(0)&=&\lim \limits _{s\to \infty }sS(s)\\[0.6em]&=&\lim \limits _{s\to \infty }\int _{0}^{\infty }S\left({\frac {t}{s}}\right)e^{-t}\mathrm {d} t\\[0.6em]&=&\int _{0}^{\infty }S(0)e^{-t}\mathrm {d} t\\[0.6em]&=&{\sqrt {3}}\lim \limits _{s\to \infty }f_{-}(s)\\[0.6em]&=&{\sqrt {3}}\end{array}}}$

f_- se calcule par décomposition dans le plan complexe[5]

${\displaystyle \log f_{-}(s)={\frac {s}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\log {\left({\frac {\sin ^{2}t}{1-t\cot t}}\right)}}{\sin ^{2}{t}+s^{2}\cos ^{2}{t}}}\mathrm {d} t}$

La luminance sortante qui est la fonction finalement recherchée est

${\displaystyle \phi (0,\mu )={\frac {\sqrt {3}}{2}}(1-\mu )f_{-}\left(-\mu ^{-1}\right)\,,\qquad \mu <0}$