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Méthode de Wiener-Hopf

La méthode de Wiener-Hopf est une technique mathématique permettant de résoudre analytiquement certaines équations intégrales et équations aux dérivées partielles avec conditions sur une limite du domaine. Elle a été mise au point par Norbert Wiener et Eberhard Hopf[1] en 1931. Typiquement la méthode utilise une transformation de Fourier, de Mellin ou de de Laplace. La solution est recherchée sous forme de somme de deux fonctions analytiques définies dans une partition du plan complexe contenant l'axe réel. Les deux fonctions coïncident dans une région contenant l'axe des valeurs réelles. Un prolongement analytique garantit que ces deux fonctions constituent une fonction analytique dans le plan complexe. Le théorème de Liouville indique que la continuation s'effectue par un polynôme imposé par la condition aux limites.

Décomposition de Wiener et Hopf d'une fonction singulière

Soient une variable réelle et une variable complexe. et sont deux constantes réelles finies. On suppose que pour toute valeur telle que la fonction possède une intégrale de Fourier analytique dans le plan complexe[2] - [3]. Celle-ci est scindée en deux parties

Ces fonctions vérifient

  • si alors lorsque
  • si alors lorsque

Pour et on définit la transformée de Fourier généralisée inverse

Ces fonctions possèdent les propriétés de régularité suivantes

  • si lorsque alors est régulière lorsque
  • si lorsque alors est régulière lorsque

Exemple : le problème de Milne

Équation intégrale de Milne

Le problème de Milne concerne la résolution de l'équation de Boltzmann pour le transfert radiatif dans un milieu unidimensionnel semi-infini homogène à diffusion isotrope, décrit par l'équation donnant la luminance

avec la condition en τ = 0 (valeur entrante nulle)

La solution formelle de cette équation est[4]

En intégrant sur μ on obtient l'équation intégrale de Milne

E (.) est l'exponentielle intégrale. Il n'existe pas de solution à cette équation.

En multipliant l'équation de Boltzmann par 1 et μ et en intégrant sur μ on obtient les moments de la luminance : l'exitance (flux) M et la pression de rayonnement P

Équation intégrale par la transformée de Laplace

On introduit les transformées de Laplace[5] - [6]

On obtient par cette voie une nouvelle équation intégrale

En développant cette expression en série de Laurent au voisinage de s = 0 et en utilisant les expressions des moments de la luminance donnés plus haut on obtient

d'où

Résolution de l'équation intégrale

On cherche à réécrire l'équation ci-dessus de telle manière que les termes à droite et à gauche soient analytiques et aient un recouvrement sur l'axe réel. Or est analytique dans la bande .

On souhaite trouver une fonction f (s) qui n'ait pas de zéro dans le domaine précédent et qui vérifie , par exemple

L'équation intégrale est réécrite

peut être représenté par la formule intégrale de Cauchy

  • f+ est une fonction régulière non nulle dans le demi-plan ,
  • f- est une fonction régulière non nulle dans le demi-plan .

On peut alors écrire l'équation intégrale sous la forme

Le premier membre est régulier pour et le second pour . Chacune des expressions constitue la continuation de l'autre.

De plus chaque membre est borné puisque et le sont. En suivant le théorème de Liouville chacun d'eux est égal à une constante C, en particulier

En comparant à l'expression donnée plus haut on extrait la constante

Cette quantité est une intégrale dans le plan complexe que l'on peut calculer[5] et dont on peut donner la valeur avec les développements déjà utilisés

Calcul des constantes d'intégration

Des expressions ci-dessus on tire

Moyennant un certain nombre de manipulations[5] on obtient une quantité appelée constante de Hopf[7]

De la même façon on calcule S (0)

En conclusion

f- se calcule par décomposition dans le plan complexe[5]

La luminance sortante qui est la fonction finalement recherchée est

Références

  1. (de) Norbert Wiener et Eberhard Hopf, « Über eine klasse singulärer integralgleichungen », Sitzungsberichte Akademie der Wissenschaften Berlin, vol. 31, , p. 696–706
  2. (en) B. Noble, Methods Based on the Wiener-Hopf Technique for the Solution of Partial Differential Equations, Pergamon Press, , 246 p. (ISBN 0-8284-0332-5)
  3. (en) George F. Carrier, Max Krook et Carl E. Pearson, Functions of a Complex Variable : Theory and Technique, SIAM, (ISBN 0-07-010089-6)
  4. (en) Subrahmanyan Chandrasekhar, Radiative transfer, Dover Publications, , 393 p. (ISBN 0-486-60590-6, lire en ligne)
  5. (en) G. Placzek et W. Seidel, « Milne's Problem in Transport Theory », Physical Review, vol. 72, no 7, , p. 550-555
  6. (en) Eberhard Hopf, Mathematical Problems of Radiative Equilibrium, Cambridge University Press,
  7. (en) Encyclopaedia of Mathematics, vol. 6, Kluwer, (ISBN 978-94-009-5993-4, lire en ligne)

Voir aussi

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