Longueur d'un module

Les modules simples sont les modules M non nuls qui n'ont pas d'autres sous-modules que {0} et M. Par exemple, un espace vectoriel est simple en tant que module si et seulement si c'est une droite vectorielle. Pour un module simple M, la seule suite de sous-modules strictement croissante pour l'inclusion est

${\displaystyle \{0\}\subsetneq M.}$

Les modules simples constituent en quelque sorte des entités faciles. Si pour un module M on peut trouver une suite strictement croissante de sous-modules ${\displaystyle (M_{k})_{0\leq k\leq n}}$ :

${\displaystyle M_{0}=\{0\}\subsetneq M_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq M_{n-1}\subsetneq M_{n}=M}$

telle que pour tout entier k de 1 à n, le module quotient ${\displaystyle M_{k}/M_{k-1}}$ soit simple, alors on ne peut pas intercaler de sous-module dans cette suite tout en conservant des inclusions strictes. On dit que le A-module M est de longueur finie et que sa longueur vaut n. Cette longueur concorde avec la définition donnée plus bas.

En particulier si E est un k-espace vectoriel de dimension finie, alors une telle suite est constituée de sous-espaces vectoriels emboîtés dont la dimension croît d'une unité à chaque étape. On parle alors de décomposition de l'espace vectoriel en drapeau et la longueur de E est donc sa dimension.

La longueur d'un module M sur un anneau A, non nécessairement commutatif, est le plus grand entier n tel qu'il existe une suite ${\displaystyle M_{0}\subsetneq M_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq M_{n}}$ strictement croissante de sous-modules de M, si un tel maximum existe. Sinon, on dit que la longueur est infinie.

On la note ${\displaystyle \ell _{A}(M)}$, ou ${\displaystyle \ell (M)}$ quand il ne fait aucun doute sur l'anneau des scalaires.

Remarque. La loi externe du A-module M est une opération de A qui (entre autres propriétés) fait de M un groupe à opérateurs dans A. La longueur du module M n'est autre que sa longueur comme groupe à opérateurs.

En ce qui concerne les modules de longueur finie, de nombreuses propriétés sont analogues à ce que l'on connaît pour les espaces vectoriels de dimension finie. Par exemple,

• si M est un module de longueur finie, alors tout sous-module de M est de longueur finie;
• si M est de longueur finie et si N est un sous-module de M de même longueur que M, alors N = M ;
• si M admet un sous-module de longueur finie N tel que le module quotient M/N soit aussi de longueur finie, alors M est de longueur finie et on a

${\displaystyle \ell (M)=\ell (N)+\ell (M/N)}$.

On en déduit une formule de Grassmann sur la longueur de sous-modules :

${\displaystyle \ell (N+P)+\ell (N\cap P)=\ell (N)+\ell (P)}$

Par ailleurs, le théorème suivant donne une caractérisation des modules de longueur finie :

Un module est de longueur finie si et seulement s'il est à la fois artinien et noethérien[2].

Le théorème de Krull-Schmidt garantit que tout module de longueur finie est, de façon unique à isomorphisme près, somme directe de modules indécomposables[3].

Démonstration

Soit M un module non nul de longueur finie n. Pour toute décomposition de M comme somme directe du plus grand nombre possible (nécessairement majoré par n) de sous-modules non nuls, les facteurs sont indécomposables. Ceci assure l'existence de la décomposition annoncée. Pour prouver son unicité, il suffit de démontrer que si

${\displaystyle \oplus _{k=1}^{m}M_{k}=M=N\oplus N'}$

et si N et tous les M_k sont indécomposables, alors N est isomorphe à l'un des M_k et N' à la somme des autres. Pour cela, notons i : N→M et p : M→N les inclusion et projection canoniques et de même, pour chaque k, i_k : M_k→M et p_k : M→M_k. Alors,

${\displaystyle \sum _{k}pi_{k}p_{k}i=p\left(\sum _{k}i_{k}p_{k}\right)i=pi=1_{N}}$

donc, d'après le lemme de Fitting, au moins l'un des pi_kp_ki – disons : le premier, quitte à les renuméroter – est un automorphisme de N. Alors, p₁ipi₁ est un endomorphisme de M₁ non nilpotent donc (à nouveau par le lemme de Fitting) bijectif lui aussi, si bien que pi₁ est un isomorphisme de M₁ sur N. On en déduit aisément que M = M₁⊕N'. Ainsi,

${\displaystyle M_{1}\oplus N'=M=\oplus _{k=1}^{m}M_{k}\quad {\text{donc}}\quad N'\simeq M/M_{1}\simeq \oplus _{k=2}^{m}M_{k}.}$

(en) M. F. Atiyah et I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison–Wesley, 1969, chap. 6

Théorème de Krull-Schmidt pour les groupes, ou théorème de Krull-Remak (en)-Schmidt :

• (en) Thomas W. Hungerford (en), Algebra, coll. « GTM » (n^o 73), 1974 (lire en ligne), p. 86
• (en) Derek J. S. Robinson (de), A Course in the Theory of Groups, coll. « GTM » (n^o 80), 1996 (lire en ligne), p. 83
• (en) Steven Roman (en), Fundamentals of Group Theory, Springer, 2012 (lire en ligne), p. 286
• (en) Joseph J. Rotman (en), An Introduction to the Theory of Groups [détail des éditions], 4^e éd., th. 6.36, p. 149