Loi d'extremum généralisée

Soient ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$ est un paramètre de position, ${\displaystyle \sigma \in \mathbb {R} ^{+*}}$ un paramètre de dispersion et ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$ un paramètre de forme appelé « indice des valeurs extrêmes ». La fonction de répartition de la loi d’extrémum généralisée est :

${\displaystyle F(x;\mu ,\sigma ,\xi )=\exp \left(-\max \left\{0,1+\xi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\right\}^{-{\frac {1}{\xi }}}\right)}$

Si ${\displaystyle \xi =0}$, l'expression n'est pas définie et doit s'entendre comme une limite qu'on peut calculer :

${\displaystyle F(x;\mu ,\sigma ,0)=\exp \left(-\exp \left({\frac {\mu -x}{\sigma }}\right)\right)}$

La fonction de densité est :

${\displaystyle f(x;\mu ,\sigma ,\xi )={\frac {1}{\sigma }}\left(1+\xi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\right)^{-{\frac {1+\xi }{\xi }}}\exp \left(-\left(1+\xi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\right)^{-{\frac {1}{\xi }}}\right)}$

Sauf si ${\displaystyle \xi =0}$ :

${\displaystyle f(x;\mu ,\sigma ,0)={\frac {1}{\sigma }}\exp \left({\frac {\mu -x}{\sigma }}\right)\exp \left(-\exp \left({\frac {\mu -x}{\sigma }}\right)\right)}$

Soit ${\displaystyle g_{k}=\Gamma (1-k\xi )}$avec ${\displaystyle k\in \{1,2,3,4\}}$ et ${\displaystyle \Gamma }$ la fonction gamma. L'espérance, la variance et le mode d'une variable suivant la loi d'extremum généralisée peuvent s'exprimer par :

• ${\displaystyle \mathbb {E} (X)=\mu +{\frac {\sigma }{\xi }}(g_{1}-1)}$
• ${\displaystyle \mathbb {V} (X)={\frac {\sigma ^{2}}{\xi ^{2}}}(g_{2}-g_{1}^{2})}$
• ${\displaystyle \operatorname {Mode} (X)=\mu +{\frac {\sigma }{\xi }}[(1+\xi )^{-\xi }-1]}$

La dissymétrie dépend du signe de ${\displaystyle \xi }$ :

${\displaystyle \kappa _{3}(X)=\mathbb {E} \left[\left({\frac {X-\mathbb {E} (X)}{\sqrt {\mathbb {V} (X)}}}\right)^{3}\right]=\mathrm {sgn} (\xi ){\frac {g_{3}-3g_{1}g_{2}+2g_{1}^{3}}{(g_{2}-g_{1}^{2})^{3/2}}}}$

Le kurtosis vaut :

${\displaystyle \kappa _{4}(X)=\mathbb {E} \left[\left({\frac {X-\mathbb {E} (X)}{\sqrt {\mathbb {V} (X)}}}\right)^{4}\right]={\frac {g_{4}-4g_{1}g_{3}+6g_{2}g_{1}^{2}-3g_{1}^{4}}{(g_{2}-g_{1}^{2})^{2}}}-3}$

Le paramètre ${\displaystyle \xi }$ spécifie le comportement de la distribution dans ses queues.

Valeur de ${\displaystyle \xi }$	Loi de…	…dite de type…	Fonction de répartition
$${\displaystyle \xi =0}$$	Gumbel	I	$${\displaystyle F(x;\mu ,\sigma ,0)=\exp \left(-\exp \left({\frac {\mu -x}{\sigma }}\right)\right)}$$
$${\displaystyle \xi >0}$$	Fréchet	II	$${\displaystyle F(x;\mu ,\sigma ,\xi )={\begin{cases}0&x\leq \mu \\\exp \left(-\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{-{\frac {1}{\xi }}}\right)&x>\mu \end{cases}}}$$
$${\displaystyle \xi <0}$$	Weibull	III	$${\displaystyle F(x;\mu ,\sigma ,\xi )={\begin{cases}\exp \left(-\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{-{\frac {1}{\xi }}}\right)&x<\mu \\1&x\geq \mu \end{cases}}}$$

• La distribution décrite est celle d'un maximum. La loi d'extrémum généralisée pour un minimum s'obtient en remplaçant ${\displaystyle x}$ par ${\displaystyle -x}$ dans les fonctions, et en passant de ${\displaystyle F}$ à ${\displaystyle 1-F}$. En particulier, la loi de Weibull « ordinaire », telle qu'elle apparaît dans les études de fiabilité, s'obtient en posant la variable ${\displaystyle t=\mu -x}$, pour offrir un support strictement positif (${\displaystyle x>0}$). Elle se voit donc « retournée » : son domaine a une borne inférieure au lieu d'une borne supérieure. Cependant, dans les applications pratiques, 0 est souvent pris comme borne inférieure.
• Les trois lois ont des domaines de nature différente : la loi de Gumbel est non bornée, la loi de Fréchet est bornée inférieurement, la loi de Weibull retournée est bornée supérieurement.
• La loi de type I est la distribution du logarithme d'une loi de type II ou d'une loi de type III (du logarithme de l'opposé d'une type III retournée).

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Generalized extreme value distribution » (voir la liste des auteurs).
• (en) Paul Embrechts, Claudia Klüppelberg et Thomas Mikosch, Modelling Extremal Events : For Insurance and Finance, Berlin, Springer Verlag, 1997 (lire en ligne)
• (en) M. R. Leadbetter, G. Lindgren et H. Rootzén, Extremes and Related Properties of Random Sequences and Processes, Springer-Verlag, 1983 (ISBN 978-1-4612-5451-5)
• (en) S. I. Resnick, Extreme Values, Regular Variation, and Point Processes, Springer-Verlag, 2008 (1^re éd. 1987), 320 p. (ISBN 978-0-387-75952-4, lire en ligne)
• (en) Stuart Coles, An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values,, Springer-Verlag, 2001, 208 p. (ISBN 1-85233-459-2, lire en ligne)