Loi de Gumbel

Etant donné deux paramètres ${\displaystyle \mu }$ et ${\displaystyle \beta }$, la fonction de répartition de la loi de Gumbel est donné par :

${\displaystyle F(x;\mu ,\beta )=\exp \left(-\exp \left({\frac {\mu -x}{\beta }}\right)\right).}$

Pour μ = 0 et β = 1, on obtient la loi standard de Gumbel.

• Si X suit une loi de Gumbel, alors la distribution conditionnelle de Y = -X dans le cas où Y est strictement positif, ou de façon équivalente, dans le cas où X est strictement négatif, suit une loi de Gompertz. La fonction de répartition G de Y est reliée à F la fonction de répartition de X, par la formule suivante : ${\displaystyle G(y)=\mathbb {P} (Y\leq y)=\mathbb {P} (X\geq -y|X\leq 0)=(F(0)-F(-y))/F(0)}$ pour y > 0. Les densités sont donc reliées par ${\displaystyle g(y)=f(-y)/F(0)}$ : la densité de Gompertz (en) est proportionnelle à la densité de Gumbel réfléchie et restreinte aux valeurs strictement positives[2].
• Si X suit une exponentielle de moyenne égale à 1, alors –log(X) suit une distribution standard de Gumbel.
• Si ${\displaystyle X,Y\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha ,\beta )}$ alors ${\displaystyle X-Y\sim \mathrm {Logistic} (0,\beta )\,}$.

La théorie associée aux lois log-gamma multivariées généralisées (en) fournit une version multivariée de la loi de Gumbel.