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Loi de Fréchet

En thĂ©orie des probabilitĂ©s et en statistique, la loi de FrĂ©chet est un cas particulier de loi d'extremum gĂ©nĂ©ralisĂ©e au mĂȘme titre que la loi de Gumbel ou la loi de Weibull.

Loi de Fréchet
Image illustrative de l’article Loi de FrĂ©chet
Densité de probabilité

Image illustrative de l’article Loi de FrĂ©chet
Fonction de répartition

ParamĂštres paramĂštre de forme.
(deux paramĂštres optionnels)
paramÚtre d'échelle (par défaut : )
paramÚtre de position du minimum (par défaut : )
Support
Densité de probabilité
Fonction de répartition
Espérance
Médiane
Mode
Variance
Asymétrie voir l'article
Kurtosis normalisé voir l'article
Entropie , oĂč est la constante d'Euler-Mascheroni.
Fonction génératrice des moments le k-iÚme moment existe[1] si
Fonction caractéristique voir Muraleedharan, Soares & Lucas (2011)[1]

Le nom de cette loi est dû à Maurice Fréchet, auteur d'un article à ce sujet en 1927. Des travaux ultérieurs ont été réalisés par Ronald Aylmer Fisher et L. H. C. Tippett en 1928 et par Emil Julius Gumbel en 1958.

Définition

Sa fonction de répartition est donnée par :

oĂč est un paramĂštre de forme. Cette loi peut ĂȘtre gĂ©nĂ©ralisĂ©e en introduisant un paramĂštre de position m du minimum et un paramĂštre d'Ă©chelle s>0. La fonction de rĂ©partition est alors :

Propriétés

Moments

La loi de Fréchet à un paramÚtre a des moments standards :

,

(avec ) définis pour :

oĂč est la fonction Gamma.

En particulier :

  • Pour l'espĂ©rance est
  • Pour la variance est .

Quantiles

Le quantile d'ordre peut ĂȘtre exprimĂ© grĂące Ă  l'inverse de la fonction de rĂ©partition :

.

En particulier la médiane est :

.

Le mode de la loi de Fréchet est .

Pour la loi de Fréchet à trois paramÚtres, le premier quartile est et le troisiÚme quartile est .

Asymétrie et kurtosis

L'asymétrie de la loi de Fréchet est :

le kurtosis est :

Applications

Loi de FrĂ©chet utilisĂ©e pour modĂ©liser des prĂ©cipitations extrĂȘmes.

En hydrologie, la loi de FrĂ©chet s'utilise pour des Ă©vĂšnements extrĂȘmes tels que le maximum annuel des prĂ©cipitations journaliĂšres ou le dĂ©bit des riviĂšres[2]. La figure bleue illustre un exemple applicable de loi de FrĂ©chet du maximum annuel des prĂ©cipitations journaliĂšres en Oman, montrant Ă©galement la bande de confiance de 90 % basĂ©e sur la loi binomiale.

Liens avec d'autres lois

  • Si (loi uniforme continue) alors
  • Si alors
  • Si et alors
  • Si (loi de Weibull) alors

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalitĂ© issu de l’article de WikipĂ©dia en anglais intitulĂ© « FrĂ©chet distribution » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) G. Muraleedharan, C. Guedes Soares et Clåudia Lucas, chap. 14 « Characteristic and Moment Generating Functions of Generalised Extreme Value Distribution (GEV) », dans Linda L. Wright, Sea Level Rise, Coastal Engineering, Shorelines and Tides, Nova Science Publishers, (ISBN 978-1-61728-655-1), p. 269-276/
  2. (en) Stuart Coles, An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values, Londres, Springer-Verlag, , 2e éd., 208 p. (ISBN 978-1-85233-459-8, lire en ligne).

Voir aussi

Bibliographie

  • M. FrĂ©chet, « Sur la loi de probabilitĂ© de l'Ă©cart maximum », Ann. Soc. Polon. Math., vol. 6, no 3, 1927
  • (en) R. A. Fisher et L. H. C. Tippett, « Limiting forms of the frequency distribution of the largest and smallest member of a sample », Proc. Cambridge Phil. Soc., vol. 24, 1928, p. 180-190
  • (en) E. J. Gumbel, Statistics of Extremes, Columbia University Press, New York, 1958
  • (en) S. Kotz et S. Nadarajah, Extreme Value Distributions: Theory and Applications, World Scientific, 2000 (ISBN 1860942245)

Liens externes

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