Loi de Fréchet
En thĂ©orie des probabilitĂ©s et en statistique, la loi de FrĂ©chet est un cas particulier de loi d'extremum gĂ©nĂ©ralisĂ©e au mĂȘme titre que la loi de Gumbel ou la loi de Weibull.
Loi de Fréchet | |
![]() Densité de probabilité | |
![]() Fonction de répartition | |
ParamÚtres | paramÚtre de forme. (deux paramÚtres optionnels) paramÚtre d'échelle (par défaut : ) paramÚtre de position du minimum (par défaut : ) |
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Support | |
Densité de probabilité | |
Fonction de répartition | |
Espérance | |
Médiane | |
Mode | |
Variance | |
Asymétrie | voir l'article |
Kurtosis normalisé | voir l'article |
Entropie | , oĂč est la constante d'Euler-Mascheroni. |
Fonction génératrice des moments | le k-iÚme moment existe[1] si |
Fonction caractéristique | voir Muraleedharan, Soares & Lucas (2011)[1] |
Le nom de cette loi est dû à Maurice Fréchet, auteur d'un article à ce sujet en 1927. Des travaux ultérieurs ont été réalisés par Ronald Aylmer Fisher et L. H. C. Tippett en 1928 et par Emil Julius Gumbel en 1958.
Définition
Sa fonction de répartition est donnée par :
oĂč est un paramĂštre de forme. Cette loi peut ĂȘtre gĂ©nĂ©ralisĂ©e en introduisant un paramĂštre de position m du minimum et un paramĂštre d'Ă©chelle s>0. La fonction de rĂ©partition est alors :
Propriétés
Moments
La loi de Fréchet à un paramÚtre a des moments standards :
- ,
(avec ) définis pour :
oĂč est la fonction Gamma.
En particulier :
- Pour l'espérance est
- Pour la variance est .
Applications

En hydrologie, la loi de FrĂ©chet s'utilise pour des Ă©vĂšnements extrĂȘmes tels que le maximum annuel des prĂ©cipitations journaliĂšres ou le dĂ©bit des riviĂšres[2]. La figure bleue illustre un exemple applicable de loi de FrĂ©chet du maximum annuel des prĂ©cipitations journaliĂšres en Oman, montrant Ă©galement la bande de confiance de 90 % basĂ©e sur la loi binomiale.
Liens avec d'autres lois
- Si (loi uniforme continue) alors
- Si alors
- Si et alors
- Si (loi de Weibull) alors
Notes et références
- (en) G. Muraleedharan, C. Guedes Soares et Clåudia Lucas, chap. 14 « Characteristic and Moment Generating Functions of Generalised Extreme Value Distribution (GEV) », dans Linda L. Wright, Sea Level Rise, Coastal Engineering, Shorelines and Tides, Nova Science Publishers, (ISBN 978-1-61728-655-1), p. 269-276/
- (en) Stuart Coles, An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values, Londres, Springer-Verlag, , 2e éd., 208 p. (ISBN 978-1-85233-459-8, lire en ligne).
Voir aussi
Bibliographie
- M. Fréchet, « Sur la loi de probabilité de l'écart maximum », Ann. Soc. Polon. Math., vol. 6, no 3, 1927
- (en) R. A. Fisher et L. H. C. Tippett, « Limiting forms of the frequency distribution of the largest and smallest member of a sample », Proc. Cambridge Phil. Soc., vol. 24, 1928, p. 180-190
- (en) E. J. Gumbel, Statistics of Extremes, Columbia University Press, New York, 1958
- (en) S. Kotz et S. Nadarajah, Extreme Value Distributions: Theory and Applications, World Scientific, 2000 (ISBN 1860942245)