Lemme de Bramble-Hilbert

À une dimension et pour une fonction ${\displaystyle \textstyle u}$ qui a ${\displaystyle \textstyle m}$ dérivées sur un intervalle ${\displaystyle \textstyle \left(a,b\right)}$, le lemme se réduit à

${\displaystyle \inf _{v\in P_{m-1}}{\bigl \Vert }u^{\left(k\right)}-v^{\left(k\right)}{\bigr \Vert }_{L^{p}\left(a,b\right)}\leq C\left(m\right)\left(b-a\right)^{m-k}{\bigl \Vert }u^{\left(m\right)}{\bigr \Vert }_{L^{p}\left(a,b\right)},}$

où ${\displaystyle \textstyle P_{m-1}}$ est l'espace de tous les polynômes d'ordre au plus ${\displaystyle \textstyle m-1}$.

Dans le cas où ${\displaystyle \textstyle p=\infty }$, ${\displaystyle \textstyle m=2}$, ${\displaystyle \textstyle k=0}$, et ${\displaystyle \textstyle u}$ est deux fois différentiable, le lemme signifie qu'il existe un polynôme ${\displaystyle \textstyle v}$ de degré un tel que pour tout ${\displaystyle \textstyle x\in \left(a,b\right)}$,

${\displaystyle \left\vert u\left(x\right)-v\left(x\right)\right\vert \leq C\left(b-a\right)^{2}\sup _{\left(a,b\right)}\left\vert u^{\prime \prime }\right\vert .}$

Cette inégalité alors résulte de manière bien connue de l'erreur estimée pour une interpolation linéaire en choisissant ${\displaystyle \textstyle v}$ comme l'interpolant linéaire de ${\displaystyle \textstyle u}$.

Supposons que ${\displaystyle \textstyle \Omega }$ soit un domaine borné dans ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle \textstyle n\geq 1}$, avec une frontière ${\displaystyle \textstyle \partial \Omega }$ et un diamètre ${\displaystyle \textstyle d}$. ${\displaystyle \textstyle W_{p}^{k}(\Omega )}$ est l'espace de Sobolev de toutes les fonctions ${\displaystyle \textstyle u}$ sur ${\displaystyle \textstyle \Omega }$ avec des dérivées partielles au sens faible${\displaystyle \textstyle D^{\alpha }u}$ d'ordre ${\displaystyle \textstyle \left\vert \alpha \right\vert }$ jusqu'à ${\displaystyle \textstyle k}$ dans ${\displaystyle \textstyle L^{p}(\Omega )}$. Ici, ${\displaystyle \textstyle \alpha =\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\right)}$ est un multi-indice, ${\displaystyle \textstyle \left\vert \alpha \right\vert =}$ ${\displaystyle \textstyle \alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$ et ${\displaystyle \textstyle D^{\alpha }}$ note les dérivées ${\displaystyle \textstyle \alpha _{1}}$ fois par rapport à ${\displaystyle \textstyle x_{1}}$, ${\displaystyle \textstyle \alpha _{2}}$ fois par rapport à ${\displaystyle \textstyle x_{2}}$, et ainsi de suite. La seminorme de Sobolev sur ${\displaystyle \textstyle W_{p}^{m}(\Omega )}$ consiste en les ${\displaystyle \textstyle L^{p}}$ normes des dérivées d'ordre le plus élevé,

${\displaystyle \left\vert u\right\vert _{W_{p}^{m}(\Omega )}=\left(\sum _{\left\vert \alpha \right\vert =m}\left\Vert D^{\alpha }u\right\Vert _{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{1/p}{\text{ si }}1\leq p<\infty }$

et

${\displaystyle \left\vert u\right\vert _{W_{\infty }^{m}(\Omega )}=\max _{\left\vert \alpha \right\vert =m}\left\Vert D^{\alpha }u\right\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}}$

${\displaystyle \textstyle P_{k}}$ est l'espace de tous les polynômes d'ordre au plus ${\displaystyle \textstyle k}$ sur ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{n}}$. Notons que ${\displaystyle \textstyle D^{\alpha }v=0}$ pour tous ${\displaystyle \textstyle v\in P_{m-1}}$ et ${\displaystyle \textstyle \left\vert \alpha \right\vert =m}$. Ainsi ${\displaystyle \textstyle \left\vert u+v\right\vert _{W_{p}^{m}(\Omega )}}$ a la même valeur pour tout ${\displaystyle \textstyle v\in P_{k-1}}$.

Lemme (Bramble et Hilbert) Sous des hypothèse supplémentaires sur le domaine ${\displaystyle \textstyle \Omega }$, spécifiées plus bas, il existe une constante ${\displaystyle \textstyle C=C\left(m,\Omega \right)}$ indépendante de ${\displaystyle \textstyle p}$ et ${\displaystyle \textstyle u}$ telle que pour tout ${\displaystyle \textstyle u\in W_{p}^{k}(\Omega )}$, il existe un polynôme ${\displaystyle \textstyle v\in P_{m-1}}$ tel que pour tout ${\displaystyle \textstyle k=0,\ldots ,m,}$

${\displaystyle \left\vert u-v\right\vert _{W_{p}^{k}(\Omega )}\leq Cd^{m-k}\left\vert u\right\vert _{W_{p}^{m}(\Omega )}.}$

Le lemme a été prouvé par Bramble et Hilbert [1] sous l'hypothèse que ${\displaystyle \textstyle \Omega }$ satisfasse la propriété forte du cône ; c'est-à-dire, qu'il existe un recouvrement ouvert fini ${\displaystyle \textstyle \left\{O_{i}\right\}}$ de ${\displaystyle \textstyle \partial \Omega }$ et des cônes correspondants ${\displaystyle \textstyle \{C_{i}\}}$ avec des sommets à l'origine tels que ${\displaystyle \textstyle x+C_{i}}$ soit contenu dans ${\displaystyle \textstyle \Omega }$ pour tout ${\displaystyle \textstyle x}$ ${\displaystyle \textstyle \in \Omega \cap O_{i}}$.

• (en) Raytcho D. Lazarov, « Bramble–Hilbert lemma », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
• (en) Jan Mandel (en), The Bramble–Hilbert Lemma. « 0710.5148 », texte en accès libre, sur arXiv.