Lemme d'estimation

Figure 1: Illustration de l'approximation de l'intégrale curviligne le long d'un chemin γ (en rouge) par une somme des valeurs atteintes en n points c_k appartenant à n-1 petits arcs formant le chemin.
La somme des longueurs des cordes (en bleu) donne une approximation de la longueur du chemin.

Si f est une fonction d'une variable complexe et à valeurs complexes, continue sur le chemin rectifiable γ, on a :

${\displaystyle \left|\int _{\gamma }f(z)\mathrm {d} z\right|\leq \mathrm {L} (\gamma )\max _{z\in \mathrm {Im} \,\gamma }|f(z)|}$

où L(γ) est la longueur du chemin rectifiable. À noter que la borne supérieure existe et est atteinte (c'est donc un maximum) car l'image d'un chemin rectifiable est compacte et f est continue. Attention ici à ne pas confondre Im γ qui désigne ici l'image du chemin γ, c'est-à-dire un sous-ensemble de ${\displaystyle \mathbb {C} }$, avec la partie imaginaire de γ.

On peut justifier intuitivement le lemme comme suit : en subdivisant le chemin γ en n-1 petits arcs d'extrémités successives z₁,..., z_n, on approche l'intégrale curviligne par une somme de Riemann :

${\displaystyle I=\int _{\gamma }f(z)\mathrm {d} z\approx \sum _{k=1}^{n-1}f(c_{k})(z_{k+1}-z_{k})}$

où c_k est un point arbitraire de l'arc joignant z_k à z_k+1. Le module de chaque terme de la somme est majoré par M |z_k+1 – z_k|, où M est le maximum de |f| sur γ et |z_k+1 – z_k| est la longueur de la corde joignant z_k à z_k+1. Comme la somme des longueurs de ces cordes approche la longueur du chemin γ, on peut s'attendre[Note 1] à la majoration |I| ≤ M L(γ).

Soit ${\displaystyle \gamma$ :[a,b]\to \mathbb {C} ,t\mapsto \gamma (t)} , un chemin de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ par morceaux, on a :

${\displaystyle |I|=\left|\int _{\gamma }f(z)\mathrm {d} z\right|=\left|\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\gamma '(t)\mathrm {d} t\right|}$

ce que l'on peut majorer comme suit :

${\displaystyle |I|\leq \int _{a}^{b}\left|f(\gamma (t))\right|\left|\gamma '(t)\right|\mathrm {d} t}$

En majorant le module de f sur le chemin et par définition de la longueur d'un arc, on a :

${\displaystyle |I|\leq \max _{t\in [a,b]}|f(\gamma (t))|\int _{a}^{b}\left|\gamma '(t)\right|\mathrm {d} t{\text{ et }}\mathrm {L} (\gamma )=\int _{a}^{b}\left|\gamma '(t)\right|\mathrm {d} t}$

d'où finalement :

${\displaystyle |I|\leq \mathrm {L} (\gamma )\max _{z\in \mathrm {Im} \,\gamma }|f(z)|}$

Figure 2 : Illustration du chemin γ_a utilisé dans l'exemple.

On cherche à montrer que

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{(x^{2}+1)^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}.}$

Pour cela, on considère un lacet constitué de deux parties : une première est le demi-cercle de centre 0 et de rayon a > 1, contenu dans le plan supérieur, parcouru dans le sens direct que l'on note γ_a (illustré à la figure 2 ci-contre) et la seconde est le segment [–a, a]. Notons f l'intégrande de l'intégrale que nous cherchons à calculer, c'est-à-dire

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{(z^{2}+1)^{2}}}.}$

C'est une fonction méromorphe sur ${\displaystyle \mathbb {C} }$ dont les pôles (doubles) sont situés en z = ± i. Seul le pôle en z = i est à l'intérieur du lacet et le résidu en ce point est :

${\displaystyle \mathrm {Res} (f,+i)=\lim _{z\to i}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\left({\frac {(z-\mathrm {i} )^{2}}{(z^{2}+1)^{2}}}\right)={\frac {1}{4\mathrm {i} }}}$

où la dérivée d'ordre 1 vient du fait que le pôle est double.

D'après le théorème des résidus, quel que soit a > 1 :

${\displaystyle (*)\qquad \int _{-a}^{a}{\frac {\mathrm {d} x}{(x^{2}+1)^{2}}}+\int _{\gamma _{a}}{\frac {\mathrm {d} z}{(z^{2}+1)^{2}}}=2\pi \mathrm {i} \,\mathrm {Res} (f,+\mathrm {i} )={\frac {\pi }{2}}.}$

On cherche ensuite à passer à la limite quand ${\displaystyle a\to +\infty }$, on a besoin de trouver en fonction de a un majorant pour :

${\displaystyle \left|\int _{\gamma _{a}}{\frac {\mathrm {d} z}{(z^{2}+1)^{2}}}\right|}$

que l'on va obtenir grâce au lemme d'estimation. La longueur du chemin est la moitié du périmètre d'un cercle de rayon a ; on a donc :

${\displaystyle \mathrm {L} (\gamma _{a})=\pi a}$

On cherche ensuite un majorant M_a pour le module de l'intégrande sur le chemin. Par inégalité triangulaire, on a :

${\displaystyle |z|^{2}=|z^{2}+1-1|\leq |z^{2}+1|+1}$

Par conséquent, sur le chemin γ_a,

${\displaystyle |z^{2}+1|\geq |z|^{2}-1=a^{2}-1>0}$

Ainsi, ${\displaystyle \forall z\in \gamma _{a}}$ :

${\displaystyle \left|{\frac {1}{(z^{2}+1)^{2}}}\right|\leq {\frac {1}{(a^{2}-1)^{2}}}=M_{a}}$

En appliquant le lemme, on a donc :

${\displaystyle \left|\int _{\gamma _{a}}{\frac {\mathrm {d} z}{(z^{2}+1)^{2}}}\right|\leq {\frac {\pi a}{(a^{2}-1)^{2}}}}$

Il en résulte que

${\displaystyle \lim _{a\to +\infty }\int _{\gamma _{a}}{\frac {\mathrm {d} z}{(z^{2}+1)^{2}}}=0.}$

Par passage à la limite ${\displaystyle a\to +\infty }$ dans ${\displaystyle (*)}$, on en déduit la relation annoncée.

• Lemme de Jordan

(en) Serge Lang, Complex Analysis, Springer, 1999, 4^e éd. (ISBN 0-387-98592-1)