Lemme d'évitement des idéaux premiers

En algèbre commutative, le lemme d'évitement s'énonce comme suit :

Théorème — Soit A un anneau commutatif. Soit I un idéal de A contenu dans la réunion d'un nombre fini n ≥ 2 d'idéaux P₁, … , P_n.

Si P₃, … , P_n sont premiers alors I est contenu dans l'un des P_i.

Démonstration

On procède par récurrence sur n. C'est immédiat pour n = 2 (c'est une propriété vraie pour les sous-groupes en général, voir infra).

Supposons la propriété montrée en n – 1 (n > 2) et (en raisonnant par l'absurde) que I n'est contenu dans aucun des P_i. Par hypothèse de récurrence, pour tout k ≤ n, il existe x_k dans I et n'appartenant pas à la réunion des autres P_i. On a alors x_k ∈ P_k.

Considérons l'élément x = x_n + x₁x₂…x_n–1 de I. On a x_n ∈ P_n et x₁x₂…x_n–1 ∉ P_n (car P_n est premier) donc x ∉ P_n et, pour tout k < n, x_n ∉ P_k et x₁x₂…x_n–1 ∈ P_k donc x ∉ P_k. Ainsi, x n'appartient à aucun P_i. Cette contradiction termine la démonstration.

Il existe une version pour les anneaux gradués :

Théorème — Soit B un anneau commutatif unitaire gradué. Soient P₁, … , P_n des idéaux premiers de B et I un idéal homogène de B engendré par des éléments homogènes de degrés strictement positifs. Supposons que tout élément homogène de I appartient à la réunion des P_i. Alors I est contenu dans l'un des P_i.

Le lemme d'évitement est en général utilisé sous la forme de sa contraposée : si un idéal I n'est contenu dans aucun des idéaux premiers P_i, alors il existe un élément de I n'appartenant à aucun des P_i.

En géométrie algébrique, ce lemme dit que dans un schéma affine SpecA, si l'on se donne un nombre fini de points en dehors d'un fermé V(I), alors ces points restent en dehors d'un fermé principal V(f) contenant V(I). La version du lemme d'évitement pour les anneaux gradués implique que dans une variété projective, tout ensemble fini de points est contenu dans un ouvert affine.

Contre-exemple. Voici un exemple qui montre que le lemme d'évitement est faux pour les idéaux en général. Soit $A={\mathbb {Z} }[X,Y]$ et considérons les idéaux $I=2A+XA+YA$ et $J_{1}=2A+X^{2}A+YA,\quad J_{2}=2A+XA+Y^{2}A,\quad J_{3}=2A+(X+Y)A+X^{2}A+Y^{2}A+XYA.$ Alors I est contenu dans la réunion des J_i (cela peut se vérifier dans l'anneau quotient $A/(2A+X^{2}A+Y^{2}A+XYA)$ qui est un anneau local à 4 éléments), mais I n'est contenu dans aucun des J_i.

Remarque. Si A contient un corps infini ou si c'est un anneau principal alors, dans le lemme d'évitement des idéaux premiers, on peut prendre pour P_i des idéaux quelconques.

Résultats similaires dans d'autres structures

Dans un groupe, si un sous-groupe est contenu dans la réunion de deux sous-groupes, alors il est contenu dans l'un d'eux. En revanche, un groupe peut très bien être la réunion de trois sous-groupes propres (exemple : le groupe de Klein).
Dans un espace vectoriel sur un corps infini, si un sous-espace vectoriel E est contenu dans la réunion d'un nombre fini d'autres sous-espaces vectoriels F₁, … , F_n, alors E est contenu dans l'un des F_i (cf. Union de sous-espaces vectoriels).
Le même résultat vaut pour les espaces affines sur un corps infini.

Références

(en) Hideyuki Matsumura, Commutative Algebra, Benjamin/Cummings, 1980, p. 2
(en) Winfried Bruns et Jürgen Herzog, Cohen-Macaulay rings, Cambridge Univ. Press, 1993, p. 34

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