Krigeage

Dans un souci de réalisme, on pose que la quantité à estimer est une fonctionnelle linéaire de la fonction aléatoire étudiée (dans le cas général: ${\textstyle Q=\int Z\left(x\right)p\left(\mathrm {d} x\right)}$); le cas plus large (problèmes de coupure et de sélection…) relève de la géostatistique non linéaire.

L'estimateur est posé comme combinaison linéaire des données, de poids inconnus pour l'instant : ${\textstyle Q^{*}=\sum _{i}\lambda _{i}Z_{i}}$

L'erreur d'estimation doit être une combinaison linéaire autorisée, c'est-à-dire que son espérance et sa variance doivent être définies.

La condition d'autorisation s'écrit différemment selon le modèle sous-jacent supposé (on supposera toujours le support borné).

• Dans le modèle stationnaire d'ordre 2, toutes les combinaisons linéaires sont autorisées, et il n'y a pas de contrainte.
• Par contre, dans le modèle intrinsèque, une combinaison linéaire est autorisée si et seulement si son poids total est nul :${\textstyle \sum _{i}\lambda _{i}=0}$

On exige de l'estimateur qu'il ne présente pas de biais statistique par rapport à la quantité à estimer. Cette contrainte peut être nommée contrainte de non-biais ou d'espérance nulle :${\textstyle \mathbf {E} \left[Q^{*}-Q\right]=0}$

On demande à l'erreur d'estimation d'être de variance minimale, sous les contraintes précédentes. Sauf cas particuliers, il y existe une solution unique ${\textstyle \left\{\lambda _{i}\right\}_{i=1..n}}$ à ce problème d'estimation.

Le résultat de ces quatre contraintes est, dans le cas général, un système de Cramer, qui admet une solution et une seule.

On peut étendre cette démarche dans le cas continu en considérant non des pondérations λ_i mais des mesures λ(dx).

Soit Z une fonction aléatoire stationnaire d'ordre 2. Son espérance m et sa matrice de covariance ${\displaystyle K=(K_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}}$ pour les sites d'échantillonnage ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ sont supposées connues. On suppose sans perte m=0. On cherche le krigeage de Z en un point x₀.

Hypothèses d'écriture du krigeage simple

1. Par linéarité, le problème devient la recherche des poids λ_i, dépendants du point d'estimation, tels que ${\textstyle Z_{0}^{*}=\sum _{i}\lambda _{i}Z_{i}}$;
2. L'autorisation est assurée dans le cas stationnaire;
3. L'universalité est assurée par hypothèse : ${\textstyle \mathbf {E} \left[Z_{0}\right]=E\left[Z_{i}\right]=0}$;
4. L'optimalité suppose : ${\textstyle \forall i,\sum _{j}\lambda _{j}K_{i,j}=K_{i,0}}$

Le système de krigeage simple s'écrit matriciellement :

${\displaystyle \mathbf {K} \mathbf {\lambda } =\mathbf {K} _{0}}$

où :

• K est la matrice de covariance aux sites d'échantillonnage :

${\displaystyle \mathbf {K} ={\begin{pmatrix}K_{1,1}&\cdots &K_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\K_{n,1}&\cdots &K_{n,n}\end{pmatrix}}=(\operatorname {cov} (Z(x_{i}),Z(x_{j})))_{1\leq i,j\leq n}}$

• λ est la matrice des poids de krigeage :

${\displaystyle \mathbf {\lambda } ={\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\\vdots \\\lambda _{n}\end{pmatrix}}}$

• K₀ est la matrice de covariance du point krigé avec les sites d'échantillonnage

${\displaystyle \mathbf {K} _{0}={\begin{pmatrix}K_{1,0}\\\vdots \\K_{n,0}\end{pmatrix}}=(\operatorname {cov} (Z(x_{i}),Z(x_{0})))_{1\leq i\leq n}}$

La matrice de covariance étant symétrique définie positive, elle est inversible et on résout le système de krigeage en l'inversant :

${\displaystyle \mathbf {\lambda } =\mathbf {K} ^{-1}\mathbf {K} _{0}}$

Le résultat de l'interpolation au point x₀ est :

${\displaystyle {Z_{0}}^{*}=\sum _{i}\lambda _{i}Z_{i}}$

Dans le cas général, l'espérance m de Z n'est pas toujours nulle. On calcule alors les poids λ_i du krigeage de la variable Z - m au point x₀, dont l'espérance est nulle. On obtient le krigeage simple de Z en x₀ : ${\displaystyle {Z_{0}}^{*}=\sum _{i}\lambda _{i}Z_{i}+\left(1-\sum _{i}\lambda _{i}\right)m}$

La variance d'estimation du krigeage simple est : ${\displaystyle {\sigma _{\mathrm {S} }}^{2}=K_{0,0}-\sum _{i}\lambda _{i}K_{0,i}}$

Le krigeage simple ne peut s'écrire directement en termes de variogramme, puisque la somme des poids n'est pas égale à 1. Le krigeage simple exige que la covariance soit définie, c'est-à-dire que le variogramme présente un palier.

Si la fonction aléatoire Z est gaussienne, le résultat de krigeage Z₀^* est l'espérance conditionnelle, et l'estimation et l'erreur sont gaussiennes : ${\displaystyle {Z_{0}}^{*}=\mathrm {E} \left[Z_{0}|Z_{1},\dotsc ,Z_{n}\right]}$ ${\displaystyle Z_{0}-{Z_{0}}^{*}\sim {\mathcal {N}}\left(0,{\sigma _{\mathrm {S} }}^{2}\right)}$

L'espérance m est supposée inconnue (mais définie).

Hypothèses d'écriture du krigeage ordinaire

1. La linéarité donne ${\textstyle Z_{0}^{*}=\sum _{i}\lambda _{i}Z_{i}}$;
2. L'autorisation est assurée dans le cas stationnaire;
3. L'universalité ne permet pas de supposer m = 0, et donne ${\textstyle \sum _{i}\lambda _{i}=1}$;
4. L'optimalité est réalisée par la méthode du multiplicateur de Lagrange. Soit μ ce paramètre, on obtient le système de krigeage ci-après

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}&\sum _{j}\lambda _{j}K_{i,j}&+~\mu &=K_{i,0}~\forall i\\&\sum _{j}\lambda _{j}&&=1\end{aligned}}\end{cases}}}$

Le système de krigeage ordinaire s'écrit matriciellement : ${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}\mathbf {K} \mathbf {\lambda } &={\mathbf {K} }_{0}\\{Z}_{0}^{*}&=\mathbf {\lambda } ^{\operatorname {T} }\,\mathbf {Z} \end{aligned}}\end{cases}}\mathrm {,~avec~} \mathbf {K} ={\begin{pmatrix}K_{1,1}&\cdots &K_{1,n}&1\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\K_{n,1}&\cdots &K_{n,n}&1\\1&\cdots &1&0\end{pmatrix}}\mathrm {,~} \mathbf {\lambda } ={\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\\vdots \\\lambda _{n}\\\mu \end{pmatrix}}\mathrm {,~} \mathbf {K} _{0}={\begin{pmatrix}K_{1,0}\\\vdots \\K_{n,0}\\1\end{pmatrix}}\mathrm {,~} \mathbf {Z} ={\begin{pmatrix}Z_{1}\\\vdots \\Z_{n}\\0\end{pmatrix}}}$

La variance d'estimation en krigeage ordinaire est ${\displaystyle {\sigma _{\mathrm {O} }}^{2}=K_{0,0}-\sum _{i}\lambda _{i}K_{0,i}-\mu }$

On peut utiliser la même démarche pour évaluer l'espérance inconnue. Soit son estimateur M^*.

Hypothèses d'écriture du krigeage de l'espérance

1. La linéarité donne ${\textstyle M^{*}=\sum _{i}\lambda _{i}Z_{i}}$
2. L'autorisation est assurée
3. L'universalité impose ${\textstyle m\left(\sum _{i}\lambda _{i}-1\right)=0~\forall m}$, donc ${\textstyle \sum _{i}\lambda _{i}=1}$
4. L'optimalité se résout par multiplicateur de Lagrange (noté μ_M) en le système ci-après.

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}&\sum _{j}\lambda _{j}K_{i,j}+\mu _{\mathrm {M} }&=0&~\forall i\\&\sum _{j}\lambda _{j}&=1\end{aligned}}\end{cases}}}$

La variance de l'évaluation de la moyenne est donc : ${\displaystyle {\sigma _{\mathrm {M} }}^{2}=-\mu _{\mathrm {M} }}$

Soit Z strictement intrinsèque sans dérive.

Hypothèses d'écriture du krigeage ordinaire

1. La linéarité donne ${\textstyle Z_{0}^{*}=\sum _{i}\lambda _{i}Z_{i}}$;
2. L'autorisation, dans le modèle intrinsèque, donne ${\textstyle \sum _{i}\lambda _{i}=1}$
3. L'universalité est respectée, car une combinaison linéaire autorisée dans le modèle intrinsèque sans dérive est d'espérance nulle
4. L'optimalité nécessite ${\textstyle \mathbf {Var} \left[\sum _{i}\lambda _{i}Z_{i}-Z_{0}\right]=-\sum _{i,j}\lambda _{i}\gamma _{i,j}\lambda _{j}+2\sum _{i}\lambda _{i}\gamma _{i,j}}$

Ce cas est identique au précédent, écrit en variogramme : ${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}-&\sum _{j}\lambda _{j}\gamma _{i,j}&+\mu &=-\gamma _{i,0}~\forall i\\&\sum _{j}\lambda _{j}&&=1\end{aligned}}\end{cases}}}$

La variance d'estimation en krigeage ordinaire est encore ${\displaystyle {\sigma _{\mathrm {O} }}^{2}=-\gamma _{0,0}-\sum _{i}\lambda _{i}\gamma _{0,i}-\mu }$ (le plus généralement γ_0,0=0).

Le krigeage ordinaire ponctuel se décompose en deux étapes : estimation de la moyenne du processus par krigeage ordinaire, puis krigeage simple en tenant compte de cette moyenne. Posant respectivement λ_m,i, μ_m et σ_O,m² les poids, multiplicateurs de Lagrange et variance de krigeage ordinaire pour l'estimation de la moyenne, λ_O,i et μ les poids et multiplicateur de Lagrange pour le krigeage ordinaire, λ_S,i les poids de krigeage simple, et S=(1−∑_iλ_S,i) le poids de la moyenne en krigeage simple, on a : ${\displaystyle \lambda _{\mathrm {O} ,i}=\lambda _{\mathrm {S} ,i}+S\lambda _{\mathrm {m} ,i}}$ ${\displaystyle \mu =S\mu _{\mathrm {m} }}$ ${\displaystyle {\sigma _{\mathrm {O} }}^{2}={\sigma _{\mathrm {S} }}^{2}+S^{2}{\sigma _{\mathrm {O} ,\mathrm {m} }}^{2}}$

La variance de krigeage simple est inférieure à celle du krigeage ordinaire associé. Si les données sont nombreuses et bien structurées, les deux krigeages sont proches. Sinon, le krigeage simple attribue un poids important à la moyenne globale connue, et le krigeage ordinaire attribue le même poids à une estimation locale de la moyenne, ainsi ce dernier est plus robuste quant aux défauts de stationnarité. D'une manière générale, le krigeage ordinaire est à préférer au krigeage simple, sauf cas particuliers (krigeage d'indicatrices, simulations).

Le modèle supposé est Z(x)=Y(x)+m(x), comportant une dérive m(x) déterministe et un résidu Y(x) voulu stationnaire (résidu vrai), et d'espérance nulle. La difficulté est de séparer les deux composantes m et y dans la variable régionalisée z. Cette dichotomie peut représenter une opposition explicative entre basses et hautes fréquences, entre tendance régionale et anomalies.

La dérive est supposée décomposable selon un nombre connu de fonctions de base ${\textstyle m(x)=\sum _{l}a_{l}f_{l}(x)}$, généralement des monômes des coordonnées, avec f₀=1 la fonction constante unité. Les coefficients a_l sont inconnus. Le modèle de dérive calculé par les algorithmes ci-après ne décrit pas forcément la tendance du phénomène, mais une approximation à l'échelle de travail.

Les hypothèses sur le résidu Y sont appelés sous-jacents sur Z.

Ce modèle est interprétable comme ayant une force de rappel autour de la dérive. La covariance est posée ${\textstyle K_{a,b}=\mathbf {Cov} \left[Z(a),Z(b)\right]=\mathbf {Cov} \left[Y(a),Y(b)\right]}$.

On notera f_li la valeur de f_l au point x_i, pour i=0…n.

Hypothèses d'écriture du krigeage universel sur FASt-2

1. La linéarité donne ${\textstyle Z_{0}^{*}=\sum _{i}Z_{i}}$
2. L'autorisation est assurée
3. L'universalité impose ${\textstyle a_{l}\left(\sum _{i}\lambda _{i}f_{li}-f_{l0}\right)}$ avec a_l inconnus, d'où ${\textstyle \sum _{i}\lambda _{i}f_{li}-f_{l0}=0,\forall l}$
4. L'optimalité introduit les multiplicateurs de Lagrange μ_l; les conditions d'optimalité s'écrivent : ${\textstyle \sum _{j}\lambda _{j}K_{i,j}+\mu _{l}f_{li}=K_{i,0},\forall i}$

Sous forme matricielle, le krigeage universel s'écrit : ${\displaystyle {\begin{pmatrix}K_{i,j}&f_{li}\\f_{li}&{\mathit {0}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\lambda _{j}\\\mu _{l}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}K_{i,0}\\f_{l0}\end{pmatrix}}}$

La variance d'estimation est: ${\displaystyle {\sigma _{\mathrm {U} }}^{2}=K_{0,0}-\sum _{i}\lambda _{i}K_{i,0}-\sum _{l}\mu _{l}f_{l0}}$

On suppose Y intrinsèque stricte sans dérive (la dérive étant intégrée à m).

Hypothèses d'écriture du krigeage universel sur fonction aléatoire intrinsèque stricte

1. La linéarité pose ${\textstyle Z_{0}^{*}=\sum _{i}\lambda _{i}Z_{i}}$
2. L'autorisation impose ${\textstyle \sum _{i}\lambda _{i}=1}$
3. L'universalité impose ${\textstyle \sum _{i}\lambda _{i}f_{li}-f_{l0}=0,\forall l\neq 0}$
4. L'optimalité introduit un multiplicateur de Lagrange μ₀ pour la contrainte d'autorisation, et d'autres μ_l,l≠0 pour les contraintes d'universalité.

Le système de krigeage s'écrit : ${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}-&\sum _{j}\lambda _{j}\gamma _{i,j}&+\mu _{0}+\sum _{l\neq 0}\mu _{l}f_{li}&=-\gamma _{i0},&\forall i\\&\sum _{j}\lambda _{j}&&=1&\\&\sum _{j}\lambda _{j}f_{lj}&&=f_{l0},&\forall l\neq 0\end{aligned}}\end{cases}}}$

Soit matriciellement : ${\displaystyle {\begin{pmatrix}-\gamma _{i,j}&{\mathit {1}}&f_{li}\\{\mathit {1}}&0&{\mathit {0}}\\f_{lj}&{\mathit {0}}&{\mathit {0}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\lambda _{j}\\\mu _{0}\\\mu _{l}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\gamma _{i,0}\\1\\f_{l0}\end{pmatrix}}}$

La variance d'estimation est : ${\displaystyle {\sigma _{\mathrm {U} }}^{2}=\sum _{i}\lambda _{i}\gamma _{i,0}-\mu _{0}-\sum _{l\neq 0}\mu _{l}f_{l0}}$

Le résultat est identique au cas précédent, cependant la situation physique n'est pas la même : ici, le phénomène peut admettre un variogramme sans palier, c'est-à-dire sans force de rappel.

Les calculs précédents ont supposé une dérive m déterministe, connue et régulière.

En modèle sous-jacent stationnaire, on pose un estimateur linéaire de la dérive ${\textstyle M^{*}(x)=\sum _{i}\lambda _{i}Z_{i}}$. Les λ_i sont solutions du système : ${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}&\sum _{j}\lambda _{j}K_{i,j}&+\sum _{l}\mu _{l}f_{li}&=0,~\forall i\\&\sum _{j}\lambda _{j}f_{lj}&&=f_{l0},^{~}\forall l\end{aligned}}\end{cases}}}$

Et la variance d'estimation en est : ${\displaystyle {\sigma _{\mathrm {D} }}^{2}=-\sum _{l}\mu _{l}f_{l0}}$

En modèle sous-jacent intrinsèque strict, les contraintes d'autorisation et d'universalité sont incompatibles ; l'estimation optimale de la dérive est impossible.

On suppose ici que Z est une FAI-k, k étant une valeur donnée.

Hypothèses d'écriture du krigeage sur FAI-k

1. La linéarité pose ${\textstyle Z^{*}=\sum _{i}\lambda _{i}Z_{i}}$
2. L'autorisation à l'ordre k demande ${\textstyle \forall l\in \left[\![0;k\right]\!],\sum _{i}f_{l_{i}}f_{l_{0}}=0}$. En utilisant la mesure de Dirac δ_i(dt), on peut écrire : ${\textstyle Z^{*}\left(x\right)-Z\left(x\right)={\tilde {Z}}\left(\sum _{i}\lambda _{i}\delta _{i}-\delta _{x}\right)}$
3. L'universalité est assurée puisque toutes les combinaisons linéaires autorisées sont d'espérance nulle.
4. L'optimalité demande à minimiser conditionnellement : ${\textstyle \sigma ^{2}=\mathrm {Var} \left[\sum _{i}\lambda _{i}Z_{i}-Z_{0}\right]=\sum _{i,j}\lambda _{i}K_{ij}\lambda _{j}-2\sum _{i}\lambda _{i}K_{i0}+K_{00}}$. Soit les conditions d'optimalité ${\textstyle \forall i,\sum _{j}\lambda _{j}K_{ij}+\sum _{l}\mu _{l}f_{l_{i}}=K_{i0}}$.

Le système de krigeage intrinsèque s'écrit : ${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}\sum _{j}\lambda _{j}K_{i,j}+\sum _{l}\mu _{l}f_{l_{i}}&=K_{i,0}&\forall i\\\sum _{j}\lambda _{j}f_{l_{j}}&=f_{l_{0}}&\forall l\end{aligned}}\end{cases}}}$

La variance d'estimation en krigeage intrinsèque est : ${\displaystyle {\sigma _{\mathrm {I} }}^{2}=K_{0,0}-\sum _{i}\lambda _{i}K_{0,i}-\sum _{l}\mu _{l}f_{l_{0}}}$

On dispose des propriétés suivantes :

• superposition des figures de krigeage : soit un opérateur linéaire Φ, alors Φ^*(Z)=Φ(Z^*). On peut écrire ${\textstyle \Phi ^{*}\left(Z\right)=\sum _{j}\lambda _{\Phi j}Z_{j}}$ avec ${\textstyle \lambda _{\Phi j}=\int \lambda _{j}(x)\Phi \left(\operatorname {d} x\right)}$
• orthogonalité : soit ν une combinaison linéaire autorisée (${\textstyle \sum _{i}\nu _{i}f_{l_{i}}=0}$), soit Φ une forme linéaire, alors ${\textstyle \mathrm {Cov} \left[\Phi (Z)-\Phi ^{*}(Z)\sum _{i}\nu _{i}Z_{i}\right]=0}$
• lissage : la variance de Z^* n'est pas définie. Soit Φ une forme linéaire telle que ${\textstyle \int f_{l}(t)\Phi (\operatorname {d} t)=0}$, alors la variance de l'estimateur est inférieure à celle de la forme linéaire (${\textstyle \mathrm {Var} [\Phi ^{*}(Z)]\leq \mathrm {Var} [\Phi (Z)]}$) ; de plus elle n'est pas stationnaire (pas invariante pour une translation de Φ).

Supposons le système de krigeage intrinsèque régulier. Le système dual est défini par: ${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}&\sum _{i}b_{i}K_{j,i}+\sum _{l}c_{l}f_{l_{j}}&=z_{j}~\forall j\\&\sum _{i}b_{i}f_{l_{i}}&=0~\forall l\end{aligned}}\end{cases}}}$

Sa résolution selon b_i et c_l fournit une approche non-probabiliste du krigeage, à travers l'égalité suivante, où les coefficients sont indépendants du lieu d'évaluation x₀: ${\displaystyle z_{0}^{*}=\sum _{i}b_{i}K_{i,0}+c_{l}f_{l_{0}}}$

Le krigeage peut donc se caractériser comme l'interpolateur z^* :

• linéaire : ${\textstyle \exists \ b_{i},c_{l},\ \forall x,\ z^{*}\left(x\right)=b_{i}K_{i,x}+c_{l}f_{l_{x}}}$
• exact : ${\textstyle z^{*}\left(x_{j}\right)=z_{j}}$
• défini-compatible avec les dérives : si les données z_i valent f_si, alors ${\textstyle z^{*}\left(x\right)=f_{s}\left(x\right)}$

Un théorème établi par Georges Matheron montre l'équivalence entre spline et krigeage, même si la conversion n'est en pratique pas aisée.

Supposons une variable aléatoire Z = m + ∑_iY_i avec m sa moyenne et Y_i des variables aléatoires intrinsèques indépendantes deux à deux, de moyenne nulle et de variogrammes respectifs γ_i. On peut poser un estimateur d'une composante Y_k sous la forme :

${\displaystyle {Y_{k}}^{*}=\sum _{i}\lambda _{i}Z_{i}}$
où les λ_i sont solutions de :

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}-&\sum _{j}\lambda _{j}\gamma _{i,j}&+\mu &=-&\gamma _{k;i,0}&~\forall i\\&\sum _{j}\lambda _{j}&&=&0\end{aligned}}\end{cases}}}$

Soit un jeu de variables Z_n, n∈⟦1;N⟧, dont les variogrammes sont supposées combinaisons linéaires de structures γ_p, p∈⟦1;P⟧. Étudions une structure numéroté p. Posons un jeu de variables Y_{p, n}, orthogonales (moyenne nulle et variance unitaire), indépendantes deux à deux et de même variogramme. Posons : ${\displaystyle Z_{n}=m_{n}+\sum _{p=1}^{P}\sum _{k=1}^{N}a_{p,n,k}Y_{p,k}}$ Cette décomposition n'est néanmoins pas unique ; le sens physique des Y_p,k n'est pas garanti.

On a rapidement les variogrammes croisés : ${\displaystyle \gamma _{Z_{i},Z_{j}}=\sum _{p=1}^{P}b_{p,i,j}\gamma _{p}}$ où ${\displaystyle b_{p,i,j}=\sum _{k=1}^{N}a_{p,i,k}a_{p,j,k}}$ On obtient des matrices (b_p,i,j)_i,j symétriques et définies positives. Par renumérotation selon p, les Y_p,n sont ordonnés de manière décroissante selon leur valeur propre (la part de variance de la composante d'échelle).

Le krigeage factoriel consiste à tenir compte des structures les plus explicatives (dont la valeur propre est significative), soit les p premières composantes (p≤p) : ${\displaystyle {Z_{n}}^{*}\simeq {m_{i}}^{*}+\sum _{p=1}^{\bar {p}}\sum _{k=1}^{N}a_{p,j,k}Y_{p,k}^{*}}$

Ce krigeage n'est pas ponctuel : il vise à estimer la variable Z sur un volume ou support v. Dans le cas d'une FAI-k, cela revient à remplacer :

• la covariance K_i,0 par

${\displaystyle K_{i,v}={\frac {1}{\left|v\right|}}\int _{v}K_{i,x}\mathrm {d} x}$

• les fonctions de base f_l0 par

${\displaystyle f_{l,v}={\frac {1}{\left|v\right|}}\int _{v}f_{l,x}\mathrm {d} x}$

• la variance K_0,0 par

${\displaystyle K_{v,v}={\frac {1}{\left|v\right|^{2}}}\int _{v}\int _{v}K_{x,y}\mathrm {d} x\mathrm {d} y}$

Le système de krigeage de bloc s'écrit : ${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}&\sum _{j}\lambda _{j}K_{i,j}+\sum _{l}\mu _{l}f_{l_{i}}&=K_{i,v}&\forall i\\&\sum _{i}\lambda _{i}f_{l_{i}}&=f_{l,v}&\forall l\end{aligned}}\end{cases}}}$ La variance d'estimation en krigeage de bloc est${\displaystyle {\sigma _{\mathrm {B} }}^{2}=K_{v,v}-\sum _{i}\lambda _{i}K_{i,v}-\sum _{l}\mu _{l}f_{l,v}}$

Les calculs d'intégrales nécessitent des algorithmes de discrétisation. Une variante est le krigeage de polygone ou de polyformes.

Le but est d'estimer ^∂Z⁄_∂u dans une direction u (vecteur unitaire). On posera la définition : ${\displaystyle {\frac {\partial Z}{\partial u}}=\lim _{r\to 0^{+}}{\frac {Z\left(x+ru\right)-Z\left(x-ru\right)}{2r}}}$

Si la covariance K(h) est stationnaire et isotrope, Z est différentiable ssi k est deux fois différentiable en 0 ; alors la covariance de Z′ est −K″, qui est définie en tout point. Alors (^∂Z⁄_∂u)^*=^∂Z*⁄_∂u. Dans des cas courants, la condition n'est pas forcément remplie et ^∂Z⁄_∂u n'est pas défini ; on étend alors la relation précédente.

Si Z a un effet pépite, c'est la dérivée de la partie continue du phénomène qui est estimée.

Le système de krigeage de gradient s'écrit : ${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}&\sum _{j}\lambda _{j}K_{i,j}+\sum _{l}\mu _{l}f_{l_{i}}&={\frac {\partial K_{i,0}}{\partial u}}&\ \forall i\\&\sum _{i}\lambda _{i}f_{l_{j}}&={\frac {\partial f_{l_{0}}}{\partial u}}&\ \forall l\end{aligned}}\end{cases}}}$

La variance d'estimation en krigeage de gradient est

En théorie, le krigeage ne permet pas de traiter des contraintes d'inégalité. Néanmoins, des algorithmes à base d'échantillonnage de Gibbs ont été développés pour fournir une solution approchée dans le cas d'une variable gaussienne.

Si les composantes de Z sont indépendantes, la matrice de cokrigeage devient diagonale de composantes K_{i , i}, i ∈ ⟦1 , d⟧. Cette séparation des variables conduit à des krigeages simples sur chacune des composantes.

Dans le cas général, on pose la FASt-2 multivariable Z comme somme d'une FASt-2 multivariable d'espérance nulle Y et d'une dérive m déterministe décomposée selon une base de fonctions f_l:

${\displaystyle Z\left(x,i\right)=Y\left(x,i\right)+\sum _{l}a_{l}f_{l}\left(x,i\right)}$

Les fonctions de base peuvent être choisies de manière à refléter des liaisons entre les dérives. Par exemple, dans le cas ℝ✕{1,2}, bivariable sur un espace à une dimension, on peut supposer :

• Les dérives m(x,1) et m(x,2) algébriquement indépendantes de degrés respectifs k₁ et k₂. On posera les k₁+k₂+2 fonctions de base, écrites comme couples de fonctions monovariables : {1, 0}, {x, 0}, …, {x^k₁, 0}, {0, 1}, {0, x}, …, {0, x^k₂}.
• Les dérives sont égales et de degré k. On posera la famille de k+1 fonctions de base {xⁱ, xⁱ}, i ∈ ⟦ 0 , k⟧.
• La dérive m(x,2) est la dérivée de m(x,1), celle-ci étant de degré k. On posera la famille de k+1 fonctions de base {1, 0}, {xⁱ, i×xⁱ⁻¹}, i ∈ ⟦1 , k⟧.

Les conditions de régularité du système sont similaires à celles du krigeage monovariable:

• la matrice de covariance est positive conditionnelle stricte sur les données, et
• les fonctions de base sont linéairement indépendantes sur les données.

Cependant, la conditionnalité n'est pas une condition d'autorisation comme dans le cas monovariable, mais de filtrage, et signifie que toute mesure ν satisfaisant aux contraintes ${\textstyle \forall l\in \left\{1,\cdots ,k\right\},\sum _{j}\int _{S_{j}}\nu _{j}\left(\mathrm {d} y\right)f_{l}\left(y,j\right)=0}$, on a :

${\displaystyle \sum _{i,j}\int _{S_{i}}\int _{S_{j}}\nu _{i}\left(\mathrm {d} x\right)K_{i,j}(x,y)\nu _{j}\left(\mathrm {d} y\right)=0\Rightarrow \nu =0}$

Les coefficients a_l de la dérive peuvent s'estimer par :

${\displaystyle A_{l}^{*}=\sum _{j\in D}\int _{S_{j}}\lambda _{j}\left(\mathrm {d} y\right)Z\left(y,j\right)}$, où ${\displaystyle \lambda _{l}\left(\mathrm {d} y\right)}$ est solution d'un système de krigeage.

On adopte une notation par des mesures :

${\displaystyle z^{*}\left(x_{0},i_{0}\right)=\sum _{j\in D}\int _{S_{j}}\psi _{j}\left(\mathrm {d} y\right)K_{j,i_{0}}\left(y,x_{0}\right)+\sum _{s}{a^{*}}_{s}f_{s}\left(x_{0},i_{0}\right),~\forall \left(x_{0},i_{0}\right)\in S}$

Les mesures ψ_j et les coefficients a*
l sont solutions du système dual :

${\displaystyle {\begin{aligned}&\forall \left(x,i\right)\in S,l\in [\![1;k]\!]\\&{\begin{cases}\sum _{j\in D}\int _{S_{j}}\psi _{j}\left(\mathrm {d} y\right)K_{i,j}\left(x,y\right)+\sum _{s}{a^{*}}_{s}f_{s}\left(x,i\right)&=z\left(x,i\right)\\\sum _{j\in D}\int _{S_{j}}\psi _{j}\left(\mathrm {d} y\right)f_{l}\left(y,j\right)&=0\end{cases}}\end{aligned}}}$