Géostatistique non linéaire

L'anamorphose gaussienne est la transformation bijective de la fonction aléatoire étudiée Z en une fonction aléatoire de distribution gaussienne Y = Φ(Z), étape préalable à la plupart des méthodes non linéaires.

Une méthode utilise les polynômes d'Hermite : ${\displaystyle H_{0}\left(Y\right)=1~;~H_{1}\left(Y\right)=-Y~;~H_{2}\left(Y\right)={\frac {Y^{2}-1}{\sqrt {2}}};H_{n+1}\left(Y\right)=-{\frac {1}{\sqrt {n+1}}}YH_{n}\left(Y\right)-{\sqrt {\frac {n}{n+1}}}H_{n-1}\left(Y\right)~{\text{pour}}~n>0}$ ${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f_{n}}{n!}}H_{n}\left(Y\right)}$ ${\displaystyle f_{n}=\int zH_{n}\left(y\right)g\left(y\right)\mathrm {d} y}$ avec g la fonction de densité d'une loi gaussienne centrée réduite On réalise une approximation à l'ordre n en sélectionnant les termes associés aux coefficients f_k, k ∈ ⟦0;n⟧. On peut vérifier : ${\displaystyle f_{0}=\mathbf {E} \left[Z\right]}$ et ${\displaystyle \mathbf {Var} \left[Z\right]=\sum _{n=1}^{\infty }\left(f_{n}\right)^{2}}$ La fonction Φ est strictement croissante sur un intervalle dit intervalle pratique [Z_{min p} ; Z_{max p}], donc elle y est bijective. On peut prolonger la bijection hors de cet intervalle par interpolation linéaire.

L'espérance conditionnelle de dépasser un seuil s est représentée par l'estimateur : ${\displaystyle \mathbf {E} \left[I_{Z\left(x\right)\geq s}\right]=\mathbf {P} \left[Z\left(x\right)\geq s|Z\left(x_{i}\right)=z_{i}\right]}$ où I est la fonction indicatrice.

Elle n'est calculable que si la fonction aléatoire est multigaussienne ; l'espérance conditionnelle suit alors une distribution gaussienne de moyenne le krigeage simple de Z noté Z_KS et de variance la variance de krigeage simple de Z notée σ_KS².

La procédure est donc de réaliser l'anamorphose de la variable étudiée Z en une variable Y gaussienne, l'analyse variographique puis le krigeage de Y, enfin de considérer : ${\displaystyle \mathbf {P} \left[Z\left(x\right)\leq s\right]=\Phi \left({\frac {s-Z_{\mathrm {KS} }\left(x\right)}{\sigma _{\mathrm {KS} }}}\right)}$ où ${\displaystyle \Phi }$ est la fonction de répartition normale

De même, un intervalle de confiance peut être construit par : ${\displaystyle \left[\Phi ^{-1}\left(\mathbf {P} \left[Y\left(x\right)\leq s\right]\right)\sigma _{\mathrm {KS} }+Y_{\mathrm {KS} }\left(x\right);\Phi ^{-1}\left(1-\mathbf {P} \left[Y\left(x\right)\geq s\right]\right)\sigma _{\mathrm {KS} }+Y_{\mathrm {KS} }\left(x\right)\right]}$ Par exemple, pour un intervalle de confiance à 95%, soit s = 97,5% ${\displaystyle \left[-1,96\sigma _{\mathrm {KS} }+Y_{\mathrm {KS} }\left(x\right);1,96\sigma _{\mathrm {KS} }+Y_{\mathrm {KS} }\left(x\right)\right]}$

La technique suppose de réaliser l'anamorphose gaussienne de Z en Y, puis à réaliser un grand nombre de simulations afin d'en étudier les statistiques. Plusieurs méthodes de simulation non conditionnelle de fonction aléatoire de loi spatiale multigaussienne sont possibles : décomposition matricielle, moyennes mobiles discrètes, méthodes spectrales, bandes tournantes, méthode séquentielle, … Le conditionnement s'effectue ensuite simplement par krigeage.

La méthode des bandes tournantes revient à :

• tirer uniformément un nombre déterminé de directions θ_i de l'espace ;
• effectuer une simulation le long de chaque droite de direction θ_i selon une covariance C_θi, découlant de la covariance C du problème ;
• remplir tout l'espace à partir de ces valeurs.