Variogramme

La réciproque est fausse : si Z est intrinsèque et de variogramme borné, alors Z est la somme d'une fonction aléatoire stationnaire de L² et d'une variable aléatoire réelle.

Le variogramme est défini pour toute fonction aléatoire intrinsèque et dépendant uniquement de l'interdistance h, alors que la fonction de covariance ne l'est que pour le cas d'une fonction aléatoire stationnaire d'ordre 2. De plus, l'estimation du variogramme n'est pas biaisée par la moyenne, au contraire de la covariance.

Si la covariance de Z tend vers 0 à l'infini, le variogramme présente un palier γ(∞) = Var[Z]. On nomme portée la distance à partir de laquelle le variogramme atteint, respectivement, son palier ; la portée pratique (parfois facteur d'échelle) est la distance à partir de laquelle le variogramme reste dans un intervalle de 5 % autour de son palier. La norme est le rapport de la portée sur la portée pratique.

Si X est un processus gaussien, on peut estimer une loi du variogramme empirique. ${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{si }}X\sim {\mathcal {N}}_{n}(0,\Sigma )\\&{\text{alors }}{\hat {\gamma }}\left(h\right)\sim \sum _{i=1}^{\operatorname {n} \left(h\right)}\lambda _{i}\left(h\right)\chi _{i1}^{2}{\text{ pour des }}\chi ^{2}{\text{ iid à 1 ddl}}\\&{\text{soit }}\mathbf {E} \left[{\hat {\gamma }}\left(h\right)\right]=\operatorname {Trace} \left(A\left(h\right)\Sigma \right){\text{, }}\mathbf {Var} \left[{\hat {\gamma }}\left(h\right)\right]=2\operatorname {Trace} \left(A\left(h\right)\Sigma \right)^{2}\\&{\text{où }}A_{x_{i},x_{j}}=-{\frac {1}{\operatorname {n} \left(h\right)}}{\text{ si }}x_{i}\neq x_{j}{\text{, }}A_{x_{i},x_{i}}=-{\frac {\operatorname {n} \left(h\right)-1}{\operatorname {n} \left(h\right)}}\end{aligned}}}$

Le modèle est une fonction continue reproduisant au mieux l'allure générale du variogramme théorique. Toutes les fonctions ne sont pas possibles : elle doivent permettre la combinaison linéaire autorisée. Une combinaison linéaire ∑_i λ_iZ_i est dite autorisée si son espérance et sa variance sont toujours définies (dans le modèle en question). On utilise généralement un modèle gigogne de variogramme sous la forme γ(h)=∑_i γ_i(h). L'approche en modèle gigogne peut conduire à considérer le phénomène étudié comme une somme de fonctions aléatoires indépendantes, que l'on peut étudier séparément dans le cadre de l'analyse krigeante ; cependant, ces composantes n'ont généralement pas de signification physique propre.

Les composantes sont définies par un palier C et éventuellement une portée a et des paramètres de formes. Les composantes γ_i les plus fréquemment utilisées sont :

Composantes de variogrammes

Comportement	Nom	Norme δ	Formule de la composanteγ(h)
composantes à palier C, sans portée	pépite pure (correspondant à un bruit blanc faible)	—	${\displaystyle \gamma (h)={\begin{cases}C,&{\text{si }}h>0\\0,&{\text{si }}h=0\end{cases}}}$
composantes classiques à palier C et portée a	gaussien	1,731	${\displaystyle \gamma (h)=C\left(1-e^{-3\left({\frac {h}{a}}\right)^{2}}\right)}$
	cubique	1	${\displaystyle \gamma \left(h\right)=C\left(7\left({\frac {h}{a}}\right)^{2}-{\frac {35}{4}}\left({\frac {h}{a}}\right)^{3}+{\frac {7}{2}}\left({\frac {h}{a}}\right)^{5}-{\frac {3}{4}}\left({\frac {h}{a}}\right)^{7}\right)}$
	exponentiel	≃ 2,996	${\displaystyle \gamma (h)=C\left(1-e^{-{\frac {h}{a}}}\right)}$
	sphérique en dimension au plus 3[1]	1	${\displaystyle \gamma (h)={\begin{cases}C\left({\frac {3}{2}}{\frac {h}{a}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {h}{a}}\right)^{3}\right),&{\text{si }}0\leqslant h\leqslant a\\C,&{\text{si }}h\geqslant a\end{cases}}}$
	sinus cardinal[2]	≃ 20,371	${\displaystyle \gamma \left(h\right)=C\left(1-{\frac {sin\left({\frac {h}{a}}\right)}{\frac {h}{a}}}\right)}$
composantes classiques non-stationnaires	linéaire	1	${\displaystyle \gamma (h)=C{\frac {h}{a}}}$
	puissance[3]	1	${\displaystyle \gamma (h)=C\left({\frac {h}{a}}\right)^{b}\ {\text{où}}\ 0<b\leq 2}$
composantes plus rarement utilisées	stable ou exponentiel généralisé	α√3	${\displaystyle \gamma \left(h\right)=C\left(1-e^{-\left({\frac {h}{a}}\right)^{\alpha }}\right)}$
	gamma	α√20-1	${\displaystyle \gamma \left(h\right)=C\left(1-{\frac {1}{\left(1+{\frac {h}{a}}\right)^{\alpha }}}\right)}$, α>0
	J de Bessel	1	${\displaystyle \gamma \left(h\right)=C\left(1-2^{\alpha }\Gamma \left(\alpha +1\right){\frac {J_{\alpha }\left({\frac {h}{a}}\right)}{\left({\frac {h}{a}}\right)^{\alpha }}}\right)}$, α>d⁄2-1
	K de Bessel ou Matérn où Kα est la fonction de Bessel modifiée de deuxième espèce de paramètre α	1	${\displaystyle \gamma \left(h\right)=C\left(1-{\frac {\left({\frac {h}{a}}\right)^{\alpha }}{2^{\alpha -1}\Gamma \left(\alpha \right)}}K_{-\alpha }\left({\frac {h}{a}}\right)\right)}$, α>0
	cosinus exponentiel, ou modèle à effet de trou
	Cauchy généralisé	√(α√20-1)	${\displaystyle \gamma \left(h\right)=C\left(1-\left(1+\left({\frac {h}{a}}\right)^{2}\right)^{-\alpha }\right)}$, α>0

Cinq structures classiques de variogrammes. À gauche, courbes des variogrammes en fonction de l'interdistance ; à droite, des champs stationnaires simulés, contraints par ces variogrammes

Le variogramme directionnel dans la direction d'un vecteur unitaire u est défini par γ_u(h) = ½Var[Z(x+hu)−Z(x)]. On parle d'anisotropie s'il existe deux vecteurs unitaires tels que les variogrammes directionnels sont différents. On distingue deux cas de figures principaux :

• anisotropie géométrique : portées différentes, même palier selon la direction ; le variogramme est une déformation linéaire A d'un variogramme isotrope γ₀ ; γ(h) = γ₀(‖Ah‖).
• anisotropie zonale ou stratifiée : même portée, paliers différents selon la direction ; le variogramme est somme de composantes présentant des anisotropies de supports : dans une certaine base, elles ne dépendent que de certaines coordonnées. Il est déconseillé d'utiliser des modèles où les anisotropies sont séparables selon les coordonnées (par exemple γ(h) = γ₁(h₁,h₂) + γ₂(h₃))

• ${\displaystyle \scriptstyle \gamma \left(0\right)=0}$
• ${\displaystyle \scriptstyle \gamma \left(h\right)\geq 0~\forall h}$
• symétrie : ${\displaystyle \scriptstyle \gamma \left(h\right)=\gamma \left(-h\right)~\forall h}$
• -γ est de type positif conditionnel : soit une mesure λ vérifiant ∫λ(dt)=0, alors ${\displaystyle \scriptstyle \int \lambda \left(\mathrm {d} t\right)\left(-\gamma \left(t-u\right)\right)\lambda \left(\mathrm {d} u\right)\geq 0}$
• Pour tout t>0, e^-tγ est une covariance
• le rapport γ(h)∕|h|² est borné pour h⟶∞
• en l'absence de dérive, c'est-à-dire dans le cas intrinsèque, ${\displaystyle \lim \limits _{h\to \infty }{\frac {\gamma \left(h\right)}{\left|h\right|^{2}}}=0}$, autrement dit : ${\displaystyle \gamma (h){\underset {h\to \infty }{=}}\mathbf {o} \left(\left|h\right|^{2}\right)}$
• si le variogramme est borné à l'infini, la fonction aléatoire est stationnaire d'ordre 2 ; il existe alors une covariance stationnaire C(h) telle que γ(h)=C(0)-C(h)
• Le variogramme γ(h) est égal à la demie variance d'extension d'un point {x} quelconque au point {x+h}

Le comportement à l'origine du variogramme traduit la régularité de la fonction aléatoire.

On peut définir également le variogramme comme la fonction γ telle que ${\displaystyle \scriptstyle {\text{si }}\sum _{i}\lambda _{i}=0{\text{, alors }}\mathbf {Var} \left[\sum _{i}\lambda _{i}Z_{i}\right]=\sum _{i,j}-\lambda _{i}\gamma _{i,j}\lambda _{j}}$

Cette formule fournit une définition du variogramme à une constante additive près.

Les formules définies dans l'hypothèse stationnaire peuvent être réécrites dans l'hypothèse intrinsèque, à condition qu'elles fassent intervenir des CLA, en remplaçant la covariance C par l'opposé du variogramme −γ