Covariance de Matérn

Entre deux points séparés d'une distance d, la covariance de Matérn s'écrit[1]: ${\displaystyle C_{\nu }(d)=\sigma ^{2}{\frac {2^{1-\nu }}{\Gamma (\nu )}}\left({\sqrt {2\nu }}{\frac {d}{\rho }}\right)^{\nu }K_{\nu }\left({\sqrt {2\nu }}{\frac {d}{\rho }}\right)}$ avec Γ la fonction gamma, K_ν la fonction de Bessel modifiée de seconde espèce, ρ et ν des paramètres strictement positifs.

En prenant ${\displaystyle \nu ={\frac {1}{2}}}$, on retrouve la fonction de covariance exponentielle ${\displaystyle C_{1/2}(d)=\sigma ^{2}{\rm {e}}^{-d/\rho }}$.

En prenant ${\displaystyle \nu \rightarrow \infty }$, on retrouve la fonction de covariance gaussienne ${\displaystyle C_{\infty }(d)=\sigma ^{2}{\rm {e}}^{-d^{2}/2\rho ^{2}}}$.

Le spectre de puissance d'un process à covariance de Matérn sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ est la transformée de Fourier (en dimension n) de la fonction de covariance de Matérn (par le théorème de Wiener-Khintchine), soit[1]:

${\displaystyle S(f)=\sigma ^{2}{\frac {2^{n}\pi ^{n/2}\Gamma (\nu +{\frac {n}{2}})(2\nu )^{\nu }}{\Gamma (\nu )\rho ^{2\nu }}}\left({\frac {2\nu }{\rho ^{2}}}+4\pi ^{2}f^{2}\right)^{-\left(\nu +{\frac {n}{2}}\right)}.}$