Isométrie partielle

• Tout opérateur unitaire sur un espace de Hilbert est une isométrie partielle dont les espaces initial et final sont l'espace de Hilbert considéré.
• Sur l'espace hermitien C², l'application linéaire représentée par la matrice ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$ est une isométrie partielle, d'espace initial ${\displaystyle \{0\}\oplus \mathbb {C} \subseteq \mathbb {C} \oplus \mathbb {C} }$ et d'espace final ${\displaystyle \mathbb {C} \oplus \{0\}}$.

Si U est une isométrie définie sur sous-espace fermé H₁ d'un espace de Hilbert H, alors il existe une unique extension W de U sur tout H qui soit une isométrie partielle. Cette extension est définie en la prolongeant par 0 sur le complément orthogonal de H₁.

On appelle ainsi parfois isométrie partielle une isométrie définie sur un sous-espace fermé d'un Hilbert.

Les isométries partielles sont aussi caractérisées par le fait que soit W W* ou soit W* W soit une projection. Si cela se produit, WW* et W*W sont toutes deux des projections. Cela permet de définir une isométrie partielle pour des C*-algèbres de la manière suivante :

Si A est une C*-algèbre, on dit qu'un élément W de A est une isométrie partielle si W*W ou WW* est une projection (endomorphisme autoadjoint idempotent) dans A. Dans ce cas, toutes deux sont des projections orthogonales, appelées respectivement la projection initiale et la projection finale de W.

Quand A est une algèbre d'opérateurs, les images de ces projections sont respectivement le sous-espace initial et le sous-espace final de W.

On peut aussi montrer que les isométries partielles sont caractérisées par l'équation :

${\displaystyle W=WW^{*}W.}$

Deux projections dont l'une est la projection initiale et l'autre la projection finale d'une même isométrie partielle sont dites équivalentes. Il s'agit d'une relation d'équivalence qui joue un rôle important en K-théorie des C*-algèbres, et dans la théorie de Murray (en)-von Neumann des projections dans les algèbres de Von Neumann.