Hauteur d'un triangle

Avec les notations classiques d'un triangle (ABC) , la hauteur (en tant que distance) issue de A vaut ${\textstyle h_{A}=2{S \over a}}$ où ${\displaystyle S}$ est l'aire du triangle (laquelle s'exprime en fonction des côtés par la formule de Héron). Les hauteurs sont donc inversement proportionnelles aux longueurs des côtés auxquelles elles aboutissent.

Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection ${\displaystyle H}$, est nommé orthocentre du triangle. L'orthocentre d'un triangle acutangle est situé à l'intérieur du triangle tandis que celui d'un triangle obtusangle est situé à l'extérieur.

Une démonstration utilise la relation ${\displaystyle {\overrightarrow {AH}}\cdot {\overrightarrow {BC}}+{\overrightarrow {BH}}\cdot {\overrightarrow {CA}}+{\overrightarrow {CH}}\cdot {\overrightarrow {AB}}=0}$ qui montre que si un point ${\displaystyle H}$ appartient à deux hauteurs, il appartient aussi à la troisième.

Démonstration par homothétie

On considère l'homothétie de centre le centre de gravité du triangle et de rapport –2. Elle transforme le triangle ABC en un triangle A'B'C'.

Le point I milieu de [BC] (non représenté dans la figure précédente) a pour image le point A qui est donc le milieu de [B'C']. La hauteur issue de A est perpendiculaire à [BC] donc à [B'C']. Comme elle passe de plus par son milieu, c'est la médiatrice du segment [B'C'].

On démontre ainsi que les trois hauteurs du triangle ABC sont les trois médiatrices du triangle A'B'C'[2]. Par conséquent, elles sont concourantes.

Hauteurs et orthocentre d'un triangle acutangle.

Hauteurs et orthocentre d'un triangle obtusangle.

L'orthocentre est le barycentre des systèmes :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&B&C\\\tan {\widehat {A}}&\tan {\widehat {B}}&\tan {\widehat {C}}\end{pmatrix}}}$ou ${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&B&C\\a/\cos {\widehat {A}}&b/\cos {\widehat {B}}&c/\cos {\widehat {C}}\end{pmatrix}}}$ ou encore ${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&B&C\\{\frac {1}{b^{2}+c^{2}-a^{2}}}&{\frac {1}{c^{2}+a^{2}-b^{2}}}&{\frac {1}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}}\end{pmatrix}}}$.

Ses coordonnées trilinéaires par rapport aux côtés du triangle sont :

${\displaystyle 1/\cos {\widehat {A}}:1/\cos {\widehat {B}}:1/\cos {\widehat {C}}}$ ou ${\displaystyle \cos {\widehat {A}}-\sin {\widehat {B}}\sin {\widehat {C}}:\cos {\widehat {B}}-\sin {\widehat {C}}\sin {\widehat {A}}:\cos {\widehat {C}}-\sin {\widehat {A}}\sin {\widehat {B}}}$.

Pour un triangle acutangle, notant R le rayon du cercle circonscrit :

• Les distances aux sommets sont données par : ${\displaystyle AH=a\cot {\widehat {A}}=2R\cos {\widehat {A}}}$ et les formules permutées.

• On en déduit la relation : ${\displaystyle a.BH.CH+b.CH.AH+c.AH.BH=abc}$ [3].

• Les distances aux côtés sont données par : ${\displaystyle HH_{A}={\frac {H_{A}B.H_{A}C}{h_{A}}}={\frac {abc}{2S}}\cos {\widehat {B}}\cos {\widehat {C}}=2R\cos {\widehat {B}}\cos {\widehat {C}}}$.

Les trois sommets du triangle et leur orthocentre forment un quadrangle orthocentrique : chacun de ces points est l'orthocentre du triangle formé par les trois autres points.

Dans un triangle, le centre du cercle inscrit dans le triangle et les centres des cercles exinscrits forment également un quadrangle orthocentrique.

Les pieds des hauteurs forment un triangle appelé le triangle orthique du triangle.

Les symétriques A₁, B₁ et C₁ de l'orthocentre H par rapport aux milieux des côtés du triangle se trouvent sur le cercle circonscrit.

Les symétriques orthogonaux A₂, B₂ et C₂ de l'orthocentre par rapport aux côtés du triangle se trouvent également sur le cercle circonscrit.

Symétriques de l'orthocentre par rapport aux milieux des côtés et par rapport aux côtés du triangle.

Ceci découle de l'observation que d'une part ${\displaystyle {\widehat {AHC}}={\widehat {A}}+{\widehat {C}}}$, et que d'autre part ${\displaystyle {\widehat {AB_{1}C}}={\widehat {AHC}}=\pi -{\widehat {B}}}$, et de même pour ${\displaystyle B_{2}}$.

Pour une autre démonstration utilisant des homothéties voir Cercle d'Euler.

Soit A', B' et C' les pieds des hauteurs du triangle. On note A₂ et A₃ les projetés orthogonaux de A' sur les côtés AB et AC du triangle et on définit de même B₂ et B₃ par rapport à B' et C₂ et C₃ par rapport à C'. Les six points ainsi définis sont cocycliques : ils sont situés sur le cercle de Taylor du triangle [4].

Cercle de Taylor d'un triangle.

On a : (A₂A₃, BC) = (AB, AC), la droite (A₂A₃) est antiparallèle de (BC) par rapport à (AB) et (AC), et des propriétés analogues pour (B₂B₃) et (C₂C₃).

(B₂C₂) est parallèle à (BC). De même (A₂C₃) //(AC) et (A₃B₃)//(AB).

C'est la configuration d'un cercle de Tücker particulier, dit cercle de Taylor.

On trouve A₂A₃ = B₂B₃ = C₂C₃.

L'hexagone ayant pour sommets ces six projections est l'hexagone de Catalan.

Centre du cercle de Taylor

Les trois droites (A₁A₂), (B₁B₂) et (C₁C₂) joignant les projections sont parallèles aux côtés du triangle orthique et coupent ses côtés en leurs milieux P, Q et R. Ces droites déterminent les côtés du triangle PQR qui est le triangle médian du triangle orthique.

Le centre est sur la droite reliant le centre O du cercle circonscrit au point de Lemoine, passant par les points X15 , X32 au milieu de O-X52

Si le triangle ABC est acutangle alors le centre du cercle de Taylor est le centre du cercle inscrit dans le triangle médian du triangle orthique.

Centre du cercle de Taylor d'un triangle acutangle.

Si le triangle ABC est obtusangle alors le centre du cercle de Taylor est un des centres des cercles exinscrits du triangle PQR. Plus précisément, si ABC est obtus en A (respectivement en B, en C), alors le centre du cercle de Taylor est le centre du cercle exinscrit à PQR dans l'angle de sommet P, milieu de [B’C’] (respectivement Q milieu de [C’A’] , R milieu de [A’B’]).

Centre du cercle de Taylor d'un triangle obtus en C.

Dans un triangle ABC, soit A' (respectivement B' et C') le pied de la hauteur issue de A (respectivement issue de B et de C).

A₁, B₁ et C₁ sont les trois autres points d'intersection des côtés du triangle ABC et de ceux du triangle orthique A’B’C’ : on note A₁ l'intersection de (BC) et de (B'C'), B₁ l'intersection de (AC) et de (A'C'), C₁ l'intersection de (AB) et de (A'B').

Les trois points A₁, B₁ et C₁ sont alignés sur une droite dénommée l'axe orthique du triangle.

L'axe orthique est aussi l'axe radical du cercle circonscrit et du cercle d'Euler.

La droite d'Euler, ligne des centres des deux cercles, est perpendiculaire à l'axe.

Axe orthique d'un triangle.