Triangle obtusangle

Trois nombres réels ${\displaystyle 0<a\leqslant b\leqslant c}$ sont les côtés d'un triangle obtusangle si et seulement si ${\displaystyle c^{2}>a^{2}+b^{2}}$ (voir la démonstration à triangle acutangle).

• Un triangle est obtusangle si et seulement s'il possède deux angles dont la somme des mesures en degrés est ${\displaystyle <90^{\circ }}$.
• Un triangle est acutangle si et seulement si ${\displaystyle \cos {\widehat {A}}\cos {\widehat {B}}\cos {\widehat {C}}<0}$ (en effet un cosinus au plus peut être négatif).

Avec la formule ${\displaystyle \cos {\widehat {A}}\cos {\widehat {B}}\cos {\widehat {C}}={\frac {p^{2}-(r+2R)^{2}}{4R^{2}}}}$, où p est le demi-périmètre, r le rayon du cercle inscrit et R celui du circonscrit, on obtient [1] :

• Un triangle est acutangle si et seulement si ${\displaystyle p<2R+r}$.

• Explication détaillée sur Récréomath