Groupes d'homotopie des sphères

En mathématiques, et plus spécifiquement en topologie algébrique, les groupes d'homotopie des sphères sont des invariants qui décrivent, en termes algébriques, comment des sphères de dimensions $n$ et $k$ égales ou différentes peuvent s'enrouler l'une sur l'autre. La notion, définie au départ pour des sphères de dimension 1 (cercles) et de dimension 2, se généralise à des sphères de toutes dimensions (les $n$ -sphères).

Enroulement d'une sphère à deux dimensions autour d'une autre sphère.

Définition et premières propriétés

Le groupe d'homotopie d'ordre $j$ de la sphère de dimension $n$ , $\mathbb {S} ^{n}$ , est l'ensemble, noté $\pi _{j}(\mathbb {S} ^{n})=[\mathbb {S} ^{j}\to \mathbb {S} ^{n}]$ , des classes d'homotopie d'applications continues qui envoient un point fixé de la sphère $\mathbb {S} ^{j}$ sur un point fixé de la sphère $\mathbb {S} ^{n}$ .

Cet ensemble (pour $j$ et $n$ fixés), noté $\pi _{j}(\mathbb {S} ^{n})$ , peut être muni d'une structure de groupe abélien.

Si $j<n$ , ce groupe est réduit à un seul élément : $\pi _{j}(\mathbb {S} ^{n})=\{0\}$ .

Si $j=n$ , ce groupe est monogène infini (c'est-à-dire infini et engendré par un seul élément) : $\pi _{n}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z}$ (cela résulte du point précédent, par le théorème d'Hurewicz).

Si $j>n$ , le groupe $\pi _{j}(\mathbb {S} ^{n})$ est soit un groupe fini, soit la somme d'un groupe fini et d'un groupe infini monogène.

La suite spectrale de Serre fut inventée pour calculer les groupes d'homotopie des sphères, mais aucune liste complète de ces groupes n'est connue.

Pour calculer ces groupes, on utilise aussi les fibrations de Hopf et la technique des variétés équipées (framed en anglais) qui provient de la théorie du cobordisme.

Dimension 1 : groupes d'homotopie des cercles

Une sphère de dimension 1 est un cercle. On a :

$\pi _{1}(\mathbb {S} ^{1})=\mathbb {Z}$ ;
$\pi _{q}(\mathbb {S} ^{1})=0\quad$ pour $\quad q\geq 2$ .

Sphères de dimension 2 et 3

Pour la notion de sphère à trois dimensions, voir l'article 3-sphère.

Les sphères de dimension au moins deux sont simplement connexes, en particulier :

\pi _{1}(\mathbb {S} ^{2})=\pi _{1}(\mathbb {S} ^{3})=0

En toute dimension $n$ supérieure ou égale à 3, on a : $\pi _{2}(\mathbb {S} ^{n})=0$ , en particulier :

\pi _{2}(\mathbb {S} ^{3})=0

En toute dimension $n$ , on a : $\pi _{n}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z}$ , en particulier :

\pi _{2}(\mathbb {S} ^{2})=\mathbb {Z}

\pi _{3}(\mathbb {S} ^{3})=\mathbb {Z}

Représentation tri-dimensionnelle d'une partie de la fibration de Hopf.

En dimensions 2 et 3, la fibration de Hopf

F=S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2}=B\,\!

donne lieu à une suite exacte d'homotopie,

\pi _{i}(S^{1})\to \pi _{i}(S^{3})\to \pi _{i}(S^{2})\to \pi _{i-1}(S^{1})\to \pi _{i-1}(S^{3})\,\cdots

Comme $\pi _{1}(\mathbb {S} ^{1})=\mathbb {Z}$ et pour $i\geq 2$ , $\pi _{i}(\mathbb {S} ^{1})=0$ , on a donc un isomorphisme :

\pi _{i}(\mathbb {S} ^{3})\simeq \pi _{i}(\mathbb {S} ^{2})

pour

i\geq 3

en particulier

\pi _{3}(\mathbb {S} ^{2})=\pi _{3}(\mathbb {S} ^{3})=\mathbb {Z}

Pour les groupes d'homotopie supérieurs, d'autres techniques donnent les résultats suivants :

$\pi _{4}(\mathbb {S} ^{2})=\pi _{4}(\mathbb {S} ^{3})=\mathbb {Z} /(2)$
$\pi _{5}(\mathbb {S} ^{2})=\pi _{5}(\mathbb {S} ^{3})=\mathbb {Z} /(2)$
$\pi _{6}(\mathbb {S} ^{2})=\pi _{6}(\mathbb {S} ^{3})=\mathbb {Z} /(12)$

**Groupes d'homotopie de $\mathbb {S} ^{3}$ et $\mathbb {S} ^{2}$**
$k$	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
$\pi _{k}(\mathbb {S} ^{3})=\pi _{k}(\mathbb {S} ^{2})$	Z	Z₂		Z₁₂	Z₂		Z₃	Z₁₅	Z₂	Z₂²	Z₁₂×Z₂	Z₈₄×Z₂²	Z₂²	Z₆	Z₃₀		Z₂×Z₆	Z₂²×Z₁₂		Z₂²×Z₁₃₂

Les groupes d'homotopie $\pi _{i}(\mathbb {S} ^{3})\simeq \pi _{i}(\mathbb {S} ^{2})$ sont finis pour $i$ supérieur ou égal à 4.

Théorie générale

Table

Calculer les groupes d'homotopie des sphères est difficile et les résultats sont compliqués. La table suivante donne une idée de la complexité :

	π₁	π₂	π₃	π₄	π₅	π₆	π₇	π₈	π₉	π₁₀	π₁₁	π₁₂	π₁₃	π₁₄	π₁₅	π₁₆
S¹	Z	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
S²	0	Z	Z	Z₂	Z₂	Z₁₂	Z₂	Z₂	Z₃	Z₁₅	Z₂	Z₂²	Z₁₂× Z₂	Z₈₄× Z₂²	Z₂²	Z₆
S³	0	0	Z	Z₂	Z₂	Z₁₂	Z₂	Z₂	Z₃	Z₁₅	Z₂	Z₂²	Z₁₂× Z₂	Z₈₄× Z₂²	Z₂²	Z₆
S⁴	0	0	0	Z	Z₂	Z₂	Z×Z₁₂	Z₂²	Z₂²	Z₂₄×Z₃	Z₁₅	Z₂	Z₂³	Z₁₂₀× Z₁₂×Z₂	Z₈₄×Z₂⁵	Z₂⁶
S⁵	0	0	0	0	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	Z₂	Z₂	Z₂	Z₃₀	Z₂	Z₂³	Z₇₂×Z₂	Z₅₀₄×Z₂²
S⁶	0	0	0	0	0	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	Z	Z₂	Z₆₀	Z₂₄×Z₂	Z₂³	Z₇₂×Z₂
S⁷	0	0	0	0	0	0	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	0	Z₂	Z₁₂₀	Z₂³	Z₂⁴
S⁸	0	0	0	0	0	0	0	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	0	Z₂	Z×Z₁₂₀	Z₂⁴
S⁹	0	0	0	0	0	0	0	0	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	0	Z₂	Z₂₄₀

Les entrées de la table sont soit le groupe trivial 0, soir le groupe monogène infini ℤ, soit les groupes abéliens finis ou encore (cases rouges) le produit de tels groupes finis abéliens et de ℤ.

Stabilité en grandes dimensions

Les tables de groupes d'homotopies sont plus facilement organisées en présentant $\pi _{n+k}(\mathbb {S} ^{n})$ en fonction de $n$ et de $k$ :

Sⁿ	π_n	π_n+1	π_n+2	π_n+3	π_n+4	π_n+5	π_n+6	π_n+7	π_n+8	π_n+9	π_n+10	π_n+11	π_n+12	π_n+13	π_n+14	π_n+15	π_n+16
S¹	Z	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
S²	Z	Z	Z₂	Z₂	Z₁₂	Z₂	Z₂	Z₃	Z₁₅	Z₂	Z₂²	Z₁₂×Z₂	Z₈₄×Z₂²	Z₂²	Z₆	Z₃₀	Z₃₀
S³	Z	Z₂	Z₂	Z₁₂	Z₂	Z₂	Z₃	Z₁₅	Z₂	Z₂²	Z₁₂×Z₂	Z₈₄×Z₂²	Z₂²	Z₆	Z₃₀	Z₃₀	Z₆×Z₂
S⁴	Z	Z₂	Z₂	Z× Z₁₂	Z₂²	Z₂²	Z₂₄×Z₃	Z₁₅	Z₂	Z₂³	Z₁₂₀× Z₁₂×Z₂	Z₈₄×Z₂⁵	Z₂⁶	Z₂₄× Z₆×Z₂	Z₂₅₂₀× Z₆×Z₂	Z₃₀	Z₆²×Z₂
S⁵	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	Z₂	Z₂	Z₂	Z₃₀	Z₂	Z₂³	Z₇₂×Z₂	Z₅₀₄×Z₂²	Z₂³	Z₆×Z₂	Z₆×Z₂	Z₃₀×Z₂	Z₂²
S⁶	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	Z	Z₂	Z₆₀	Z₂₄×Z₂	Z₂³	Z₇₂×Z₂	Z₅₀₄×Z₄	Z₂₄₀	Z₆	Z₁₂×Z₂	Z₆₀×Z₆	Z₅₀₄×Z₂²
S⁷	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	0	Z₂	Z₁₂₀	Z₂³	Z₂⁴	Z₂₄×Z₂	Z₅₀₄×Z₂	0	Z₆	Z₂₄×Z₄	Z₁₂₀×Z₂³	Z₂⁴
S⁸	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	0	Z₂	Z× Z₁₂₀	Z₂⁴	Z₂⁵	Z₂₄²×Z₂	Z₅₀₄×Z₂	0	Z₆×Z₂	Z₂₄₀× Z₂₄×Z₄	Z₁₂₀×Z₂⁵	Z₂⁷
S⁹	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	0	Z₂	Z₂₄₀	Z₂³	Z₂⁴	Z₂₄×Z₂	Z₅₀₄×Z₂	0	Z₆	Z₁₆×Z₄	Z₂₄₀×Z₂³	Z₂⁴
S¹⁰	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	0	Z₂	Z₂₄₀	Z₂²	Z×Z₂³	Z₁₂×Z₂	Z₅₀₄	Z₁₂	Z₆	Z₁₆×Z₂	Z₂₄₀×Z₂²	Z₂₄₀×Z₂
S¹¹	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	0	Z₂	Z₂₄₀	Z₂²	Z₂³	Z₆×Z₂	Z₅₀₄	Z₂²	Z₆×Z₂	Z₁₆×Z₂	Z₂₄₀×Z₂	Z₂
S¹²	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	0	Z₂	Z₂₄₀	Z₂²	Z₂³	Z₆	Z× Z₅₀₄	Z₂	Z₆×Z₂	Z₄₈× Z₄×Z₂	Z₂₄₀×Z₂	Z₂
S¹³	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	0	Z₂	Z₂₄₀	Z₂²	Z₂³	Z₆	Z₅₀₄	Z₂	Z₆	Z₁₆×Z₂	Z₄₈₀×Z₂	Z₂
S¹⁴	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	0	Z₂	Z₂₄₀	Z₂²	Z₂³	Z₆	Z₅₀₄	0	Z×Z₃	Z₈×Z₂	Z₄₈₀×Z₂	Z₂₄×Z₂
S¹⁵	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	0	Z₂	Z₂₄₀	Z₂²	Z₂³	Z₆	Z₅₀₄	0	Z₃	Z₄×Z₂	Z₄₈₀×Z₂	Z₂³
S¹⁶	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	0	Z₂	Z₂₄₀	Z₂²	Z₂³	Z₆	Z₅₀₄	0	Z₃	Z₂²	Z× Z₄₈₀×Z₂	Z₂⁴
S¹⁷	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	0	Z₂	Z₂₄₀	Z₂²	Z₂³	Z₆	Z₅₀₄	0	Z₃	Z₂²	Z₄₈₀×Z₂	Z₂⁴
S¹⁸	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	0	Z₂	Z₂₄₀	Z₂²	Z₂³	Z₆	Z₅₀₄	0	Z₃	Z₂²	Z₄₈₀×Z₂	Z₂²
S¹⁹	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	0	Z₂	Z₂₄₀	Z₂²	Z₂³	Z₆	Z₅₀₄	0	Z₃	Z₂²	Z₄₈₀×Z₂	Z₂²

Pour les « grandes » dimensions, on a :

$\pi _{n}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z} ,\quad n\geq 1$ (première colonne en jaune du tableau précédent)
$\pi _{n+1}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z} /(2),\quad n\geq 3$ (deuxième colonne — en mauve — du tableau précédent)
$\pi _{n+2}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z} /(2),\quad n\geq 2$ (troisième colonne — turquoise — du tableau précédent)

Comme il peut être conjecturé, il s'avère que $\Gamma _{k}=\pi _{n+k}(\mathbb {S} ^{n})$ est indépendant de $n$ pour $n$ suffisamment grand. Ce phénomène est connu sous le nom de stabilité. Il résulte du théorème de suspension de Freudenthal suivant :

Le morphisme de suspension $S:\pi _{n+k}(\mathbb {S} ^{n})\to \pi _{n+k+1}(\mathbb {S} ^{n+1})$ est un isomorphisme pour $n\geq k+2$
et un épimorphisme (morphisme surjectif) pour $n=k+1$ .

Liste des groupes d'homotopie stable

Les premiers groupes stables $\Gamma _{k}=\pi _{2k+2}(\mathbb {S} ^{k+2})=\pi _{n+k}(\mathbb {S} ^{n}),\quad n\geq k+2$ sont les suivants :

$\Gamma _{-j}=\pi _{n-j}(\mathbb {S} ^{n})=0,$
$\Gamma _{0}=\pi _{n}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z} ,\quad n\geq 1$
$\Gamma _{1}=\pi _{n+1}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z} /(2),\quad n\geq 3$
$\Gamma _{2}=\pi _{n+2}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z} /(2),\quad n\geq 2$
$\Gamma _{3}=\pi _{n+3}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z} /(24),\quad n\geq 5$
$\Gamma _{4}=\pi _{n+4}(\mathbb {S} ^{n})=0,\quad n\geq 6$
$\Gamma _{5}=\pi _{n+5}(\mathbb {S} ^{n})=0,\quad n\geq 7$
$\Gamma _{6}=\pi _{n+6}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z} /(2),\quad n\geq 5$
$\Gamma _{7}=\pi _{n+7}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z} /(240),\quad n\geq 9$
$\Gamma _{8}=\pi _{n+8}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z} /(2)\oplus \mathbb {Z} /(2),\quad n\geq 10$

Les groupes d'homotopie stable sont finis sauf pour $k=0$ .

**Groupes d'homotopie stable** $\ \Gamma _{k}=\pi _{2k+2}(\mathbb {S} ^{k+2})$ avec $k$ inférieur à 23
$k$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
$\Gamma _{k}$	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	0	Z₂	Z₂₄₀	Z₂²	Z₂³	Z₆	Z₅₀₄	0	Z₃	Z₂²	Z₄₈₀⊕ Z₂	Z₂²	Z₂⁴	Z₈⊕Z₂	Z₂₆₄⊕ Z₂	Z₂₄	Z₂²	Z₂²

À partir de $k=23$ , la décomposition de $\Gamma _{k}$ se complique, par exemple :

\Gamma _{23}=\mathbb {Z} _{16}\oplus \mathbb {Z} _{8}\oplus \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{9}\oplus \mathbb {Z} _{3}\oplus \mathbb {Z} _{5}\oplus \mathbb {Z} _{7}\oplus \mathbb {Z} _{13}

**Groupes d'homotopie stable** $\ \Gamma _{k}=\pi _{2k+2}(\mathbb {S} ^{k+2})$ avec $k$ inférieur à 60
$k$	0	1	2	3	4	5	6	7
$\Gamma _{k}$	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄=Z₈⊕Z₃	0	0	Z₂	Z₂₄₀ =Z₁₆⊕Z₃⊕Z₅
$k$	8	9	10	11	12	13	14	15
$\Gamma _{k}$	Z₂²	Z₂³	Z₆=Z₂⊕Z₃	Z₅₀₄ =Z₈⊕Z₉⊕Z₇	0	Z₃	Z₂²	Z₄₈₀⊕Z₂ =Z₃₂⊕Z₂⊕Z₃⊕Z₅
$k$	16	17	18	19	20	21	22	23
$\Gamma _{k}$	Z₂²	Z₂⁴	Z₈⊕Z₂	Z₂₆₄⊕Z₂ =Z₈⊕Z₂⊕Z₃⊕Z₁₁	Z₂₄ = Z₈⊕Z₃	Z₂²	Z₂²	Z₁₆⊕Z₈⊕Z₂ ⊕Z₉⊕Z₃ ⊕Z₅⊕Z₇⊕Z₁₃
$k$	24	25	26	27	28	29	30	31
$\Gamma _{k}$	Z₂²	Z₂²	Z₂²⊕Z₃	Z₂₄=Z₈⊕Z₃	Z₂	Z₃	Z₆=Z₂⊕Z₃	Z₆₄⊕Z₂²⊕Z₃ ⊕Z₅⊕Z₁₇
$k$	32	33	34	35	36	37	38	39
$\Gamma _{k}$	Z₂⁴	Z₂⁵	Z₄⊕Z₂³	Z₈⊕Z₂²⊕Z₂₇ ⊕Z₇⊕Z₁₉	Z₆=Z₂⊕Z₃	Z₂²⊕Z₃	Z₂⊕Z₆₀= Z₂⊕Z₄⊕Z₃⊕Z₅	Z₁₆⊕Z₂⁵⊕Z₃² ⊕Z₂₅⊕Z₁₁
$k$	40	41	42	43	44	45	46	47
$\Gamma _{k}$	Z₂⁵⊕Z₄⊕Z₃	Z₂⁵	Z₈⊕Z₂²⊕Z₃	Z₅₅₂ =Z₈⊕Z₃⊕Z₂₃	Z₈	Z₁₆⊕Z₂³ ⊕Z₉⊕Z₅	Z₂⁴⊕Z₃	Z₃₂⊕Z₄⊕Z₂³ ⊕Z₉⊕Z₃ ⊕Z₅⊕Z₇⊕Z₁₃
$k$	48	49	50	51	52	53	54	55
$\Gamma _{k}$	Z₂⁴⊕Z₄	Z₂²⊕Z₃	Z₃⊕Z₂³	Z₈⊕Z₄⊕Z₂²⊕Z₃	Z₂³⊕Z₃	Z₂⁴	Z₄⊕Z₂	Z₁₆⊕Z₃²⊕Z₅⊕Z₂₉
$k$	56	57	58	59	60	61	62	63
$\Gamma _{k}$	Z₂²	Z₂⁴	Z₂²	Z₈⊕Z₂²⊕Z₉ ⊕Z₇⊕Z₁₁⊕Z₃₁	Z₄	0	Z₂⁴⊕Z₃	Z₁₂₈⊕Z₄⊕Z₂²⊕Z₃ ⊕Z₅⊕Z₁₇

p-composantes des groupes d'homotopie stable

La table précédente incite à s'intéresser à la classe de congruence modulo 4 de k, si p est un nombre premier supérieur ou égal à 7 :

Si k est pair (colonnes $k=0$ , $k=2$ , $k=4$ , $k=6$ du tableau précédent),
ou si k est congru à 1 modulo 4 (colonnes $k=1$ et $k=5$ du tableau précédent),
alors la p-composante de $\Gamma _{k}$ est nulle (0) quel que soit p premier supérieur ou égal à 7.

Si k est congru à 3 modulo 4 (colonnes $k=3$ $k=3$ et $k=7$ $k=7$ du tableau précédent) et si p est premier et supérieur ou égal à 7,
alors la p-composante de $\Gamma _{k}$ $\Gamma _{k}$ est
- cyclique et d'ordre p ( $\Gamma _{k}(p)=\mathbb {Z} /(p)$ ) si $(p-1)/2$ divise $(k+1)/4$ ,
- sinon elle est nulle ( $\Gamma _{k}(p)=0$ ).

Par exemple :

$\Gamma _{k}(7)=\mathbb {Z} /(7)$ si $k=12n-1$ et $\Gamma _{k}(7)=0$ sinon ;
$\Gamma _{k}(11)=\mathbb {Z} /(11)$ si $k=20n-1$ et $\Gamma _{k}(11)=0$ sinon ;
$\Gamma _{k}(13)=\mathbb {Z} /(13)$ si $k=24n-1$ et $\Gamma _{k}(13)=0$ sinon ;
$\Gamma _{k}(p)=\mathbb {Z} /(p)$ si $k=2(p-1)n-1$ et $\Gamma _{k}(p)=0$ sinon.

La complexité réside essentiellement dans les 2-, 3- et 5- composantes du groupe $\Gamma _{k}$ .

Groupes d'homotopie non stables

Les premiers groupes non stables sont les suivants :

En dimension 2 et 3 ( $\pi _{k}(\mathbb {S} ^{2})=\pi _{k}(\mathbb {S} ^{3})$ $\pi _{k}({\mathbb S}^{2})=\pi _{k}({\mathbb S}^{3})$ ) :
- $\pi _{3}(\mathbb {S} ^{2})=\pi _{3}(\mathbb {S} ^{3})=\mathbb {Z}$
- $\pi _{5}(\mathbb {S} ^{2})=\pi _{5}(\mathbb {S} ^{3})=\pi _{4}(\mathbb {S} ^{2})=\mathbb {Z} /(2)$
- $\pi _{6}(\mathbb {S} ^{2})=\pi _{6}(\mathbb {S} ^{3})=\mathbb {Z} /(12)$
En dimension 4 : $\pi _{7}(\mathbb {S} ^{4})=\mathbb {Z} /(12)\oplus \mathbb {Z}$

Groupes d'homotopie infinis

Les groupes d'homotopie stables $\pi _{n+k}(\mathbb {S} ^{n})$ sont finis sauf pour $k=0$ ( $\Gamma _{0}=\mathbb {Z}$ ).

Les groupes d'homotopie instables sont finis sauf les groupes $\pi _{4p-1}(\mathbb {S} ^{2p})$ (avec p > 0). Ces derniers ( $\pi _{3}(\mathbb {S} ^{2})$ , $\pi _{7}(\mathbb {S} ^{4})$ , $\pi _{11}(\mathbb {S} ^{6})$ , …) sont isomorphes à la somme directe de $\mathbb {Z}$ et d'un groupe fini.

Groupes d'homotopie non nuls

On sait que si $n>1$ , il y a une infinité de groupes $\pi _{k}(\mathbb {S} ^{n})$ qui sont non nuls (ce sont des résultats de Jean-Pierre Serre).

On sait aussi que $\pi _{k}(\mathbb {S} ^{5})\neq 0$ pour tout $k>4$ (Morton L. Curtis).

Applications

Pour les applications du groupe fondamental ( $n=1$ ), voir l'article Groupe fondamental.
Le fait que $\pi _{n}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z}$ implique le théorème de Brouwer qui affirme que toute application continue de la boule dans elle-même a un point fixe.

Ce groupe permet de définir le degré de Brouwer d'une application de la sphère dans elle-même.

Les groupes d'homotopie stable sont importants en théorie des singularités.
Le fait que le 3^e groupe d'homotopie stable est ℤ/(24) implique le théorème de Rokhlin (en) qui affirme que la signature (en) d'une variété spinorielle de dimension 4 est divisible par 16.
Les groupes d'homotopie stable servent à décrire les groupes de h-cobordisme (en) des homotopies orientées de sphères, qui pour $n$ différent de 4 est le groupe des sphères exotiques orientées de dimension $n$ .
Les groupes d'homotopie des sphères sont liés aux classes de cobordisme des variétés.
Ils permettent également de calculer les groupes d'homotopie des fibrés, des groupes de Lie et des espaces symétriques.

Généralisation en géométrie algébrique

En géométrie algébrique, on définit les $\mathbb {S} ^{n,i}$ qui sont les sphères de dimension $n$ et de poids $i$ .

On peut définir les groupes d'homotopie stable des sphères comme colimites (ou limites inductives) de l'ensemble des classes d'homotopie d'applications de $\mathbb {S} ^{2r+n,r}$ vers $\mathbb {S} ^{2r,r+i}.$

L'application du foncteur de suspension à d'autres espaces topologiques que la sphère donne naissance à la théorie de l'homotopie stable.

Références en français

Boris Doubrovine (de), Anatoli Fomenko et Sergueï Novikov, Géométrie contemporaine - Méthodes et applications, 1984 [détail des éditions], tomes 2 et 3
Claude Godbillon, Éléments de topologie algébrique [détail de l’édition]
Fabien Morel, « Groupes d'homotopie de sphères algébriques et formes quadratiques », dans Leçons de mathématiques d'aujourd'hui, vol. 3, Cassini, 2007

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