Graphe de Herschel

Le diamètre du graphe de Herschel, l'excentricité maximale de ses sommets, est 4, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 3 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 4. Il s'agit d'un graphe 3-sommet-connexe et d'un graphe 3-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 3 sommets ou de 3 arêtes.

Le nombre chromatique du graphe de Herschel est 2. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 2 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

L'indice chromatique du graphe de Herschel est 4. Il existe donc une 4-coloration des arêtes du graphe telle que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

Il est possible de compter les colorations distinctes d'un graphe. Cela donne une fonction dépendant du nombre de couleurs autorisé. Cette fonction est polynomiale et est qualifiée de polynôme chromatique du graphe. Ce polynôme admet pour racines tous les entiers positifs ou nuls strictement inférieurs à 2 et est de degrés 11. Il est égal à : ${\displaystyle (x-1)x(x^{9}-17x^{8}+136x^{7}-671x^{6}+2254x^{5}-5355x^{4}+9002x^{3}-10306x^{2}+7254x-2371)}$.

Le groupe d'automorphismes du graphe de Herschel est un groupe d'ordre 12 isomorphe au groupe diédral D₆, le groupe des isométries du plan conservant un hexagone. Ce groupe est constitué de 6 éléments correspondant aux rotations et de 6 autres correspondant aux réflexions.

Le polynôme caractéristique de la matrice d'adjacence du graphe de Herschel est : ${\displaystyle -x^{3}(-11+x^{2})(-3+x^{2})(-2+x^{2})^{2}}$.

(en) Eric W. Weisstein, « Herschel Graph », sur MathWorld