Graphe de Chvátal

Le graphe de Chvátal a 370 cycles hamiltoniens distincts et est eulérien.

Le diamètre du graphe de Chvátal, l'excentricité maximale de ses sommets, est 2, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 2 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 4. Il s'agit d'un graphe 4-sommet-connexe et d'un graphe 4-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 4 sommets ou de 4 arêtes.

Le nombre chromatique du graphe de Chvátal est 4. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 4 couleurs de tel façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes, mais ce nombre est minimal : il n'existe pas de 3-coloration valide du graphe.

L'indice chromatique du graphe de Chvátal est 4. Il existe donc une 4-coloration des arêtes du graphe telle que deux arêtes incidentes à un même sommets soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

Il est possible de compter les colorations distinctes d'un graphe. Cela donne une fonction dépendant du nombre de couleurs autorisé. Cette fonction est polynomiale et est qualifiée de polynôme chromatique du graphe. Ce polynôme a pour racines tous les entiers positifs ou nuls strictement inférieurs à 4 et est de degré 12 ; il est égal à : ${\displaystyle (x-3)(x-2)(x-1)x(x^{8}-18x^{7}+157x^{6}-861x^{5}+3228x^{4}-8423x^{3}+14850x^{2}-16080x+8143)}$.

Le groupe d'automorphismes du graphe de Chvátal est un groupe d'ordre 8 isomorphe au groupe diédral D₄, le groupe des isométries du plan conservant un carré. Ce groupe est constitué de 4 éléments correspondant aux rotations et de 4 autres correspondant aux réflexions.

Le polynôme caractéristique de la matrice d'adjacence du graphe de Chvátal est : ${\displaystyle (x-4)(x-1)^{4}x^{2}(x+1)(x+3)^{2}(x^{2}+x-4)}$.