Formule de Tanaka

En calcul stochastique, la formule de Tanaka s'écrit :

${\displaystyle |B_{t}|=\int _{0}^{t}\operatorname {sgn}(B_{s})\,dB_{s}+L_{t}}$

où B_t est un mouvement brownien standard, sgn désigne la fonction signe :

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}+1,&x\geq 0;\\-1,&x<0.\end{cases}}}$

et L_t est le temps local (en) en 0 du mouvement brownien B (le temps local passé par B en 0 jusqu'au temps t). Celui-ci est donné par la limite dans L² suivante :

${\displaystyle L_{t}=\lim _{\varepsilon \downarrow 0}{\frac {1}{2\varepsilon }}|\{s\in [0,t]|B_{s}\in (-\varepsilon ,+\varepsilon )\}|.}$

La formule de Tanaka correspond à la décomposition de Doob–Meyer explicite de la sous-martingale |B_t| en sa partie martingale (l'intégrale du membre de droite), et son processus croissant continu (le temps local). On peut aussi voir cette formule comme une analogue du lemme d'Itô pour la fonction valeur absolue (qui n'est pas régulière) ${\displaystyle f(x)=|x|}$, avec ${\displaystyle f'(x)=\operatorname {sgn}(x)}$ et ${\displaystyle f''(x)=2\delta (x)}$.

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