Fonction d'erreur

L'intégrale ne peut être obtenue à partir d'une formule fermée[1] mais par un développement en série entière (de rayon de convergence infini) intégré termes à termes,

${\displaystyle \quad \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)\times n!}}\,z^{2n+1}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10}}-{\frac {z^{7}}{42}}+O(z^{9})\right).}$

Il existe des tables donnant des valeurs des intégrales, comme fonctions de z, mais aujourd'hui, la plupart des logiciels de calcul numérique (tableurs, Scilab) ou de calcul formel (comme Maple ou MuPAD) intègrent une routine de calcul de erf(x) et de sa bijection réciproque, inverf(x), encore plus utile en calcul de probabilités.

Toutefois, les approximations suivantes peuvent être utiles :

• En ${\displaystyle v(0),\quad \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\mathrm {e} ^{-x^{2}}\left(x+{\frac {2}{3}}\,x^{3}+{\frac {4}{15}}\,x^{5}\right)+o(x^{6}\,\mathrm {e} ^{-x^{2}})}$ (avec une erreur inférieure à 6 × 10^–4 pour x < 0,5)
• En ${\displaystyle v(+\infty ),\quad \operatorname {erf} (x)=1-\mathrm {e} ^{-x^{2}}{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}.\left({\frac {1}{x}}-{\frac {1}{2x^{3}}}+{\frac {3}{4x^{5}}}-{\frac {15}{8x^{7}}}\right)+o(x^{-8}\mathrm {e} ^{-x^{2}})}$ (avec une erreur inférieure à 2 × 10^–4 pour x > 1,75)
• Pour ${\displaystyle x>0,\quad {\sqrt {1-\mathrm {e} ^{-x^{2}}}}\leq \operatorname {erf} (x)\leq {\sqrt {1-\mathrm {e} ^{-4x^{2}/\pi }}}}$

(encadrement proposé par J. T. Chu, 1955 ; la borne supérieure approche partout la fonction erf à moins de 7 × 10⁻³ près).

• Pour ${\displaystyle x>0,\quad \operatorname {erf} (x)\simeq 1-\mathrm {e} ^{-1,9x^{1,3}}}$

(approximation proposée par E. Robert, 1996 ; Elle approche partout la fonction erf à moins de 2,2 × 10⁻² près. L'approximation s'améliore pour être inférieure à 10⁻² pour ${\displaystyle x\geq 1}$).

• La fonction ${\displaystyle x\mapsto \operatorname {erf} (x)\times \mathrm {e} ^{x^{2}}}$ est la solution de l'équation différentielle ${\displaystyle y''-2x\,y'-2y=0}$ valant 0 en 0 et de dérivée ${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}}$ en 0.

Il arrive que la fonction plus générale ${\displaystyle E_{n}}$ définie par :

${\displaystyle E_{n}(z)=n!\int _{0}^{z}\mathrm {e} ^{-\zeta ^{n}}\,\mathrm {d} \zeta }$

soit utilisée et E₂ est appelée erreur intégrale.

D'autres fonctions d'erreurs utilisées en analyse, notamment :

• La fonction d'erreur complémentaire notée erfc et définie par :

${\displaystyle \operatorname {erfc} (z)=1-\operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{z}^{\infty }\mathrm {e} ^{-\zeta ^{2}}\,\mathrm {d} \zeta }$

• La fonction ierfc, (opposée de l') intégrale de la fonction d'erreur complémentaire erfc :

${\displaystyle \operatorname {ierfc} (z)={\frac {\mathrm {e} ^{-z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}-z\cdot \operatorname {erfc} (z)}$

• La fonction d'erreur imaginaire notée erfi est définie par[2] :

${\displaystyle \operatorname {erfi} (z)={\frac {\operatorname {erf} (\mathrm {i} z)}{\mathrm {i} }}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}\mathrm {e} ^{\zeta ^{2}}\,\mathrm {d} \zeta ={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\mathrm {e} ^{z^{2}}D(z)}$

où D(z) désigne la fonction de Dawson. Elle n'est souvent définie que dans certains logiciels de calcul formel, tels que Mathematica et Maple. Elle peut néanmoins être décrite à l'aide d'un développement en série entière :

${\displaystyle \quad \operatorname {erfi} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)\times n!}}\,z^{2n+1}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(z+{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10}}+{\frac {z^{7}}{42}}+O(z^{9})\right).}$

• La fonction de Faddevva (en) est définie par :

${\displaystyle w(z):=\mathrm {e} ^{-z^{2}}\operatorname {erfc} (-\mathrm {i} z)=\operatorname {erfcx} (-\mathrm {i} z)=\mathrm {e} ^{-z^{2}}\left(1+{\frac {2\mathrm {i} }{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}\mathrm {e} ^{t^{2}}{\text{d}}t\right).}$

Approximations de la fonction d'erreur réciproque (somme jusqu'à k = K).

La fonction d'erreur réciproque intervient parfois dans des formules statistiques. Elle peut être décrite à l'aide d'un développement en série :

${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}z\right)^{2k+1}}$

où ${\displaystyle c_{0}=1}$ et

${\displaystyle c_{k}=\sum _{m=0}^{k-1}{\frac {c_{m}c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)}}=\left\{1,1,{\frac {7}{6}},{\frac {127}{90}},\ldots \right\}}$

On obtient le développement suivant :

${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(z)={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\left(z+{\frac {\pi }{12}}z^{3}+{\frac {7\pi ^{2}}{480}}z^{5}+{\frac {127\pi ^{3}}{40320}}z^{7}+{\frac {4369\pi ^{4}}{5806080}}z^{9}+{\frac {34807\pi ^{5}}{182476800}}z^{11}+\cdots \right)}$

(le rayon de convergence de cette série valant 1, elle ne donne de bonnes valeurs approchées que pour |z|<1/2 par exemple).

${\displaystyle \operatorname {erf} }$ est présente dans les langages C++ (C++ 2011 Standard)[3] et Fortran 2008[4].

• (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne), chap. 7