Filtration (mathématiques)

Une filtration d'un espace vectoriel est une suite de sous-espaces vectoriels croissante ou décroissante pour l'inclusion. Un drapeau est un cas particulier de filtration sur un espace vectoriel de dimension finie.

Étant donné un endomorphisme sur un espace vectoriel, la suite des noyaux (respectivement des images) des puissances itérées de cet endomorphisme constitue une filtration croissante (respectivement décroissante) de l'espace vectoriel.

Une filtration ${\displaystyle (A_{i})}$ sur une algèbre est en général supposée compatible avec la multiplication :

${\displaystyle A_{i}\cdot A_{j}\subset A_{i+j}.}$

En théorie des probabilités, une filtration est une suite croissante (pour l'inclusion) de tribus sur un ensemble. Cet ensemble est en général un espace probabilisé dont la tribu est engendrée par celles de la filtration.

Ainsi, sur l'ensemble ${\displaystyle \Omega }$ des suites à valeurs dans un ensemble (par exemple fini), pour tout entier naturel ${\displaystyle n}$ il est possible de définir la tribu ${\displaystyle F_{n}}$ engendrée par les ensembles de suites ayant les mêmes ${\displaystyle n}$ premiers termes. La suite de ces tribus définit alors une filtration ${\displaystyle F}$ sur l'ensemble des parties de ${\displaystyle \Omega }$.