Exposant de Liapounov

Les suites définies par une relation de récurrence ont, dans les cas les plus simples, un comportement qui se réduit pour l'essentiel, en fonction d'un paramètre, à la stabilité (convergence exponentielle) ou l'instabilité (divergence exponentielle).

D'autres suites sont bornées, ce qui interdit la divergence, remplacée alors par des phénomènes plus compliqués, cycles limites et chaos.

On peut calculer l'erreur à un pas donné n en fonction de l'erreur au pas précédent supposée petite :

${\displaystyle \varepsilon _{n}=f(u_{n-1}+\varepsilon _{n-1})-f(u_{n-1})}$.

Lorsque les deux erreurs consécutives tendent vers 0, leur rapport qui mesure l'amplification instantanée de l'erreur tend donc vers la pente ${\displaystyle f'(u_{n-1})}$ [3].

Cette amplification varie généralement d'un pas au suivant, ce qui conduit à calculer le produit des rapports d'erreurs consécutives :

${\displaystyle \left|{\frac {\varepsilon _{n}}{\varepsilon _{0}}}\right|=\prod _{i=1}^{n}\left|{\frac {\varepsilon _{i}}{\varepsilon _{i-1}}}\right|=\prod _{i=1}^{n}|f'(u_{i-1})|}$.

En écrivant ${\displaystyle \varepsilon _{n}=e^{\lambda n}\varepsilon _{0}}$ et en passant à la limite on obtient l'exposant de Liapounov qui représente le logarithme moyen de l'accroissement :

${\displaystyle \lambda =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln(|f'(u_{i-1})|)}$.

On peut aussi écrire de manière équivalente, en introduisant ${\displaystyle f^{(N)}}$ la ${\displaystyle N}$ ième itération de ${\displaystyle f}$ :

${\displaystyle \lambda (x_{0})=\lim _{N\to \infty }\ln \left(\left|{\frac {\mathrm {d} f^{(N)}(x)}{\mathrm {d} x}}\right|_{x_{0}}\right)}$.

Dans le cas de la suite géométrique ${\displaystyle u_{n}=au_{n-1}}$, la pente est constante et égale à ${\displaystyle a}$, ce qui dispense de calculer la moyenne.

Cette suite est stable lorsque ${\displaystyle |a|<1}$, instable lorsque ${\displaystyle |a|>1}$. Ces comportements sont analogues à celui d'un oscillateur harmonique qui deviendrait instable si un amortissement négatif lui fournissait de l'énergie. Ils se traduisent par un exposant de Liapounov négatif ou positif (de signe opposé à celui du coefficient d'amortissement) [4].

Lorsque le paramètre vaut 1, le système est encore stable (il est stationnaire) tandis que lorsque ce paramètre vaut -1, on observe des oscillations entretenues analogues à celles d'un système conservatif. C'est un exemple simplifié de cycle limite. On peut parler de système superstable associé à un exposant de Liapounov qui tend vers moins l'infini.

La suite logistique fournit l'exemple le plus simple de suite bornée :

${\displaystyle x_{n+1}=\mu x_{n}(1-x_{n}),~x_{0}\in [0;1].}$

La restriction μ < 4 contraint les termes de la suite à rester dans l'intervalle [0,1].

Pour des valeurs du paramètre μ allant jusqu'à 3 inclus, on trouve en 0 et ½ des points superstables entre lesquels existent des points possédant une stabilité asymptotique d'autant plus forte que l'exposant est plus négatif. Ensuite on observe une succession de bifurcations faisant apparaître des ensembles de cycles limites de plus en plus compliqués qui correspondent néanmoins à une stabilité plus ou moins forte, marquée par un exposant négatif.

Lorsque cet exposant devient positif, apparaît une tentative de divergence contrainte par les limites de l'intervalle. Cela se traduit par un phénomène chaotique dans lequel l'évolution, tout en restant bornée, est sensible aux conditions initiales.

Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur le corps des réels ou des complexes[12] et ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{E}}$ l'espace vectoriel des fonctions de la variable réelle (resp. des suites), à valeurs dans E et définies sur un intervalle ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (resp. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) de la forme ${\displaystyle \left[t_{0},+\infty \right[}$, ${\displaystyle t_{0}>0}$. Dans ce qui suit, il sera commode de noter une suite comme une fonction.

Cette définition dépend a priori de la norme ${\displaystyle \left\Vert .\right\Vert }$ choisie dans E. Mais il est immédiat que deux normes équivalentes définissent le même exposant de Liapounov ; or toutes les normes sont équivalentes sur un espace de dimension finie, et la définition est donc intrinsèque.

Soit la suite ${\displaystyle f(t)=ca^{t}}$, où c et a sont des nombres complexes non nuls. On a ${\displaystyle \chi (f)=\ln |a|}$, d'où les mêmes conclusions que ci-dessus à propos de la fonction ${\displaystyle f(t)=ce^{at}}$.

Cet exemple, pour simple qu'il soit, est comme le précédent très caractéristique de la notion d'exposant de Liapounov.

L'addition et la multiplication sur la droite achevée ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ est définie comme d'habitude ; les quantités ${\displaystyle -\infty +\infty }$ et ${\displaystyle 0.\pm \infty }$ ne sont pas définies. On pose ${\displaystyle \ln(0)=-\infty }$ et ${\displaystyle \ln(+\infty )=+\infty }$. Dans ce qui suit, E désigne un espace vectoriel de dimension finie[12]. Les propriétés qui suivent sont des conséquences directes de la définition[5] - [13] ; elles ont pour la plupart été démontrées par Liapounov :

(1) Une constante admet pour exposant de Liapounov strict la valeur 0. Plus généralement, si ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}_{E}}$ est telle qu'il existe deux constantes ${\displaystyle a,b>0}$ pour lesquelles ${\displaystyle a\leq \left\Vert f(t)\right\Vert \leq b,\forall t\in {\mathcal {I}}}$, alors ${\displaystyle \chi (f)=0}$.

(2) Soit ${\displaystyle f_{i}\in {\mathcal {F}}_{E}}$ et ${\displaystyle c_{i}\in \mathbb {C} \backslash \left\{0\right\}}$ (${\displaystyle i=1,...,n}$). Alors

${\displaystyle \chi \left(\sum \nolimits _{i=1}^{n}c_{i}f_{i}\right)\leq \sup _{1\leq i\leq n}\left\{\chi \left(f_{i}\right)\right\}}$

avec égalité si ${\displaystyle \chi \left(f_{i}\right)>\chi \left(f_{j}\right)(j\neq i)}$.

(3) Soit ${\displaystyle E_{i}}$ (${\displaystyle i=1,...,n}$) des espaces de dimension finie, ${\displaystyle u:\prod \nolimits _{1\leq i\leq n}E_{i}\rightarrow E}$ une application multilinéaire, et ${\displaystyle f_{i}\in {\mathcal {F}}_{E_{i}}}$ (${\displaystyle i=1,...,n}$). Alors

${\displaystyle \chi \left(u\left(f_{1},...,f_{n}\right)\right)\leq \sum \nolimits _{i=1}^{n}\chi \left(f_{i}\right)}$.

(4) Soit ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}_{E}}$ et ${\displaystyle a\in {\mathcal {F}}_{\mathbb {C} }}$ où a admet un exposant de Liapounov strict. Alors

${\displaystyle \chi \left(af\right)=\chi \left(a\right)+\chi \left(f\right)}$.

(5) Soit ${\displaystyle f_{i}\in {\mathcal {F}}_{\mathbb {R} }}$ (${\displaystyle i=1,...,n}$) des suites ou des fonctions à valeurs positives. Alors

${\displaystyle \chi \left(\sum \nolimits _{i=1}^{n}f_{i}\right)\geq \inf _{1\leq i\leq n}\chi \left(f_{i}\right)}$.

(6) Si ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}_{\mathbb {C} }}$ est une suite qui ne s'annule pas et est telle que ${\displaystyle {\underset {t\rightarrow +\infty }{\lim .\sup }}\left\vert f\left(t\right)\right\vert =l\in {\overline {\mathbb {R} }}}$, alors

${\displaystyle \chi \left(t\mapsto \prod \limits _{\tau =t_{0}}^{t}f\left(\tau \right)\right)\leq \ln(l)}$

avec égalité si la limite supérieure est une limite.

(7) Si ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}_{E}}$ est une fonction continue (ou plus généralement mesurable au sens de la mesure de Lebesgue), alors

${\displaystyle \chi \left(t\mapsto \int f\left(t\right)dt\right)\leq \chi \left(f\right)}$

avec égalité si ${\displaystyle E=\mathbb {R} }$, et f ne prend que des valeurs positives et admet un exposant de Liapounov strict.

(8) Si ${\displaystyle f_{i}\in {\mathcal {F}}_{E}(i=1,...,n)}$ et ${\displaystyle \chi (f_{1})>\chi (f_{2})>...>\chi (f_{n})}$, alors les fonctions ${\displaystyle f_{1},...,f_{n}}$ sont linéairement indépendantes.

(9) Si ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}_{\mathbb {C} }}$ ne s'annule pas, alors ${\displaystyle \chi (f)+\chi (1/f)\geq 0}$ ; si de plus ${\displaystyle f(t)=e^{th(t)}}$, il y a égalité si et seulement si ${\displaystyle \lim \limits _{t\rightarrow +\infty }h(t)}$ existe et est finie.

Considérons un système dynamique différentiable, défini par l'équation différentielle :

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,t)}$

où t est le temps, ${\displaystyle {\dot {x}}=dx/dt}$, et f vérifie les conditions habituelles pour que le théorème de Cauchy-Lipschitz s'applique ; cette fonction, à valeurs dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, est supposée de plus continûment différentiable par rapport à x. Pour une condition initiale donnée ${\displaystyle x(t_{0})=x_{0}}$, il existe donc une solution unique ${\displaystyle x(t)=\varphi (x_{0},t)=g^{t}(x_{0})}$, qu'on supposera définie sur ${\displaystyle [t_{0},+\infty [}$. L'application ${\displaystyle g:t\mapsto g^{t}:x_{0}\mapsto g^{t}x_{0}}$ est le flot défini par le champ de vecteur f. On a ${\displaystyle g^{t+s}=g^{s}g^{t}\left(t\geq t_{0},s\geq 0\right)}$, ce qui fait de la famille ${\displaystyle \left(g^{t}\right)_{t\geq t_{0}}}$ un semi-groupe de difféomorphismes.

Soit donc une solution (également appelé mouvement) ${\displaystyle x(t)=g^{t}x_{0}=\varphi (x_{0},t)}$. Supposons qu'on fasse varier la condition initiale ${\displaystyle x_{0}}$ d'une quantité ${\displaystyle \varepsilon \delta x_{0}}$ où ${\displaystyle \varepsilon >0}$. Pour ${\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0}$, il en résulte une variation du mouvement ${\displaystyle \varepsilon \delta x\left(x_{0},t\right)}$, en négligeant les termes du second ordre, où

${\displaystyle \delta x\left(x_{0},t\right)=J^{t}\left(x_{0}\right)\delta x_{0}}$, avec ${\displaystyle J^{t}\left(x_{0}\right)={\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}\left(x_{0},t\right)}$.

Par conséquent,

${\displaystyle \sup \limits _{\left\Vert \delta x_{0}\right\Vert =1}\left\Vert \delta x\left(x_{0},t\right)\right\Vert ={\overline {\sigma }}\left(J^{t}\left(x_{0}\right)\right)}$

où ${\displaystyle {\overline {\sigma }}(.)}$ désigne la plus grande valeur singulière de la matrice entre parenthèses. Plus généralement,

La définition qui précède ne permet pas de calculer directement les exposants de Liapounov d'un système. On a

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{0}\partial t}}(x_{0},t)={\frac {\partial }{\partial x_{0}}}\left(f(\varphi \left(x_{0},t),t\right)\right)={\frac {\partial f}{\partial x}}\left(\varphi \left((x_{0},t\right),t\right){\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}\left(x_{0},t\right)}$

par conséquent on obtient

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}J^{t}\left(x_{0}\right)=A(x_{0},t)J^{t}\left(x_{0}\right)}$ avec ${\displaystyle A(x_{0},t)={\frac {\partial f}{\partial x}}\left(\varphi \left(x_{0},t\right),t\right)}$.

De plus, on a évidemment ${\displaystyle J^{t_{0}}(x_{0})=I_{n}}$.

Ce calcul et le théorème d'Oseledec[11] - [14] permettent d'énoncer le

En simulation, on peut déterminer ${\displaystyle J^{t}\left(x_{0}\right)}$ en intégrant l'équation linéaire (EV) avec la condition initiale indiquée, puis en déduire les exposants de Liapounov ${\displaystyle \chi (\sigma _{i}(.,x_{0}))(i=1,...,n)}$. Il existe également des méthodes ad hoc pour calculer les exposants de Liapounov de manière approchée à partir de données expérimentales[11].

Le théorème de Liapounov, énoncé plus haut, fait appel à la notion de système régulier. Cette notion a été introduite par Liapounov. Considérons l'équation (L) et son équation adjointe

(AD) : ${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=-A(t)y.}$

L'équation (L) a, on l'a vu, des exposants de Liapounov finis ${\displaystyle \lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq ...\leq \lambda _{n}}$ ; de même, l'équation (AD) a des exposants de Liapounov finis ${\displaystyle \mu _{1}\geq \mu _{2}\geq ...\geq \mu _{n}}$.

Cette définition est assez malcommode à vérifier, et on peut utiliser plutôt la méthode due à Perron, que nous allons exposer maintenant.

Supposons qu'on fasse dans (L) le changement de variable ${\displaystyle x=P(t)z}$ où ${\displaystyle P:[t_{0},+\infty [\rightarrow \mathbb {R} ^{n\times n}}$ est une fonction continûment dérivable et ${\displaystyle P(t)}$ est inversible pour tout t ; on obtient ainsi une nouvelle équation (T). Ce faisant, on ne change pas la nature du système (L) (i.e. si 0 est stable, resp. asymptotiquement stable, etc., pour (L), alors il l'est aussi pour (T)) si P est une transformation de Liapounov dans le sens suivant :

Perron a établi que, si ${\displaystyle A:t\mapsto A(t)}$ est bornée, on peut toujours déterminer une transformation de Liapounov pour laquelle (T) soit de la forme

(T) : ${\displaystyle {\frac {dz}{dt}}=B(t)z}$

où ${\displaystyle B(t)}$ est triangulaire supérieure. Soit ${\displaystyle b_{ii}(t)}$ ses termes diagonaux. On a alors le

Ce résultat et le théorème de Floquet montrent que tout système linéaire à coefficients périodiques (et en particulier tout système linéaire à coefficients constants) est régulier.

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