Expérience de Cavendish

On note r la distance entre une petite masse m et le point O. r est donc une constante.

On note d la distance entre une petite masse m et une grosse masse M directement voisine. d est une fonction du temps.

Afin de déterminer la constante G on va considérer diverses interactions entre les éléments du système :

• les frottements de l'air
• les interactions A-A' et B-B'
• la force de torsion du fil

On négligera les forces d'interactions A-B' et A'-B, puisqu'elles sont nettement plus faibles (voir plus bas).

On négligera également la masse des bras de la balance.

On va à présent utiliser le théorème du moment cinétique :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {L_{O}}}}{\mathrm {d} t}}=\sum _{i=1}^{n}{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{i,O}}}}$

Ici, le moment cinétique s'écrit, par définition :

${\displaystyle {\overrightarrow {L_{\mathrm {O} }}}={\overrightarrow {\mathrm {OA} }}\wedge {\vec {p_{\mathrm {A} }}}+{\overrightarrow {\mathrm {OB} }}\wedge {\vec {p_{\mathrm {B} }}}}$

avec ${\displaystyle {\vec {p_{\mathrm {A} }}}}$ (respectivement ${\displaystyle {\vec {p_{\mathrm {B} }}}}$) la quantité de mouvement en A (respectivement B).

Projeté sur l'axe orthogonal au plan (parallèle au fil de torsion), il vient:

${\displaystyle {\displaystyle {L_{\mathrm {O} }}=2mr^{2}{\dot {\alpha }}}}$, donc,

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {L_{O}}}{\mathrm {d} t}}=2mr^{2}{\ddot {\alpha }}}$

Le pendule est soumis à trois moments de force:

• Le moment du couple de rappel. C désigne la constante de torsion, ou raideur angulaire du fil de torsion.

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{i,0}^{rappel}=-C\alpha }$

• Le moment du couple d'amortissement visqueux

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{i,0}^{frott}=-K{\dot {\alpha }}}$

• Le moment du couple de forces A'-A et B'-B

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{i,0}^{\overrightarrow {F_{A'-A}}}+{\mathcal {M}}_{i,0}^{\overrightarrow {F_{B'-B}}}=2G{\frac {mM}{d^{2}}}r}$

Le théorème du moment cinétique devient donc :

${\displaystyle 2mr^{2}{\ddot {\alpha }}+K{\dot {\alpha }}+C\alpha =2G{\frac {mM}{d^{2}}}r}$

qui est l'équation différentielle du mouvement du pendule en régime oscillatoire forcé.

Lorsque l'on relâche le système celui-ci finit par osciller très peu autour de sa position d'équilibre. On peut donc dire que lorsque le temps tend vers l'infini, les oscillations sont relativement faibles, d'où l'approximation suivante :

${\displaystyle \alpha _{final}\approx Cte\Rightarrow {\dot {\alpha }}_{final}\rightarrow 0\Rightarrow {\ddot {\alpha }}_{final}\rightarrow 0}$

ce qui donne la solution particulière de l'équation différentielle :

${\displaystyle \alpha _{final}=2{\frac {GmM}{d^{2}}}{\frac {r}{C}}}$

${\displaystyle G={\frac {Cd^{2}\alpha _{final}}{2mMr}}}$

Jusqu'alors, on avait supposé que l'interaction entre les sphères A'-B et B'-A était négligeable. Cela dépend en fait du rapport de distance qu'il y a entre la grosse sphère voisine et la grosse sphère éloignée. En supposant qu'il y a un rapport r dans ces distances alors on peut démontrer que l'erreur sur G est de la forme :

${\displaystyle \varepsilon ={\left(1-{\frac {\sin {\theta }}{r}}\right)}^{2}}$

avec

${\displaystyle \theta ={\widehat {BAB'}}}$

En pratique, on obtient une erreur relativement faible pour r > 10 (les valeurs sont données comme incertitude sur G) :

• ${\displaystyle r=5\rightarrow \varepsilon =20{,}6\ \%}$
• ${\displaystyle r=10\rightarrow \varepsilon =9{,}6\ \%}$
• ${\displaystyle r=20\rightarrow \varepsilon =4{,}6\ \%}$
• ${\displaystyle r=50\rightarrow \varepsilon =1{,}8\ \%}$